domingo, 5 de mayo de 2013

Operaciones Combinadas

Un fallo muy frecuente en los alumnos de secundaria es no realizar bien los cálculos por no respetar el orden de las operaciones . Evidentemente, este problema de base acarreará que todos los cálculos siguientes sean incorrectos . Destacaré a continuación a través de ejemplos, distintas situaciones que nos podemos encontrar donde tendremos que respetar la jerarquía de las operaciones:

- Si no hay paréntesis, el orden de las operaciones es :

          1º) Potencias - 2º)  Multiplicaciones / Divisiones - 3º) Sumas / Restas 

Ejemplos: (utilizo el símbolo $ * $ para indicar multiplicación )

a) $ 2 + 3 * (-5) = 2 + (-15) = -13 $

b) $ 5 - 2 *  2^{3}  = 5 - 2 * 8 = 5 - 16 = - 11 $

Observaciones:

- Es muy frecuente que en ejercicios como el  a)  , los alumnos sumen primero  2 + 3  y a continuación multipliquen por (-5) , eso está mal !!! ... Primero tenemos que hacer la multiplicación ( dejamos inicialmente el 2 tal y como está y calculamos el producto )

- Otro fallo habitual se da con  los cálculos con potencias como en  b ) :  $ 2 * 2^{3} $ , a menudo los estudiantes calculan del siguiente modo: dos por dos igual a 4,  4 al cubo igual a 64 , esto tampoco es correcto !!! ... Primero debemos calcular la potencia y después multiplicar el resultado por 2 , es decir, $ 2 *8 = 16 $ ( ya que  $ 2^{3} $ = 8 ).

- Si tenemos paréntesis, siempre los paréntesis primero y si hay unos dentro de otros, primero los de dentro

Ejemplos :

c ) $ 3-(4+3*5)= 3- (4+15)= 3-19 = -16 $

d) $ 8-2*\begin{bmatrix}5+3*(-2)^{3}\end{bmatrix} $

En este caso, primero haremos el corchete, y dentro de él, primero la potencia, después el producto y por último la suma :

 $ 8-2*\begin{bmatrix}5+3*(-2)^{3}\end{bmatrix}= 8-2*\begin{bmatrix}
5+3*(-8)\end{bmatrix}= $

$ 8-2*\begin{bmatrix}5-24\end{bmatrix}=8-2*(-19)=8+38=46  $

Observad que en cada paso, copio exactamente igual los números y operaciones que no utilizo y sólo efectúo el cálculo correspondiente.

Es importante saber realizar de forma correcta estas operaciones para así evitar fallos en ejercicios más complejos como aquellos en los que usaréis incógnitas, expresiones algebraicas,  etc

Para terminar os voy a comentar otro fallo común :

$ (5-4)^{2}\neq 5^{2}-4^{2}= 25 - 16 = 9 $

El cálculo correcto sería realizando primero el paréntesis y después la potencia :

$ (5-4)^{2}=1^{2}=1 $

Por la misma razón que $ (5-4)^{2}\neq 5^{2}-4^{2} $, tampoco es correcto $ (x-2)^{2}\neq x^{2}-2^{2}$

Gracias por leer mi blog. Hasta pronto




viernes, 3 de mayo de 2013

Geometría en el Espacio ( 2 )

Ejercicio: Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta : $ r \equiv \left\{\begin{matrix}x - y + z = 0\\ 2x - y + 4z = -2 \end{matrix}\right. $

- Comprobemos en primer lugar que esas dos ecuaciones determinan una recta:

Cada una de las ecuaciones , desde un punto de vista geométrico, representa un plano en el espacio.
Tenemos por tanto dos planos. Las soluciones del sistema que forman las dos ecuaciones nos darán los puntos de corte de los dos planos, por tanto, si queremos que el corte sea una recta, el sistema debe tener infinitas soluciones ( tantas soluciones como puntos tiene una recta:, es decir, infinitos ) , por consiguiente  el sistema debe ser compatible indeterminado : el rango de la matriz de coeficientes debe ser igual al rango de la matriz ampliada (y menor que el número de incógnitas ). Habría en principio dos posibilidades : rango 1 y rango 2 . Si el rango es 1, significará que las dos ecuaciones son proporcionales y por tanto los planos serán coincidentes . Como consecuencia de todo lo anterior, la única posibilidad de que dos planos en el espacio determinen una recta es que el sistema tenga rango igual a 2 ( tanto de la matriz de coeficientes como de la matriz ampliada ) . Veamos si eso ocurre con nuestro sistema:

$ r\equiv \left\{\begin{matrix}
x - y + z = 0\\ 2x - y + 4z = -2
\end{matrix}\right. $

Matriz de coeficientes: $ A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
2 & -1 & 4
\end{pmatrix} $

Matriz ampliada:  $ A' = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 0\\
2 & -1 & 4 & -2
\end{pmatrix} $

Tomamos en A el determinante : $ \begin{vmatrix}
1 & -1\\
2 & -1
\end{vmatrix} $ = 1 * (-1 ) - 2 * ( -1) = - 1 + 2 = 1 $ \neq  $ 0 => rg ( A ) = 2 .

Como no podemos construir en A' ningún determinante de orden tres, tendremos que el rango de A' también es igual a 2 . Por tanto: rg (A) = rg (A' ) = 2 . Efectivamente, las dos ecuaciones iniciales determinan una recta en el espacio.

- Resolvamos el sistema : Vamos a resolver el sistema inicial del que sabemos que tiene rango de A y A' igual a 2 . Como el sistema tiene tres incógnitas, para resolverlo necesitaremos un número de parámetros que se obtiene :

Nº de parámetros = Nº de incógnitas - rango = 3 - 2 = 1

Llamemos  $ \lambda  $  a  nuestro parámetro. Tomamos  z = $ \lambda  $  y sustituimos en el sistema :

$ \left\{\begin{matrix}
x - y + \lambda  = 0\\ 2x - y + 4\lambda = -2
\end{matrix}\right.  $

Pasamos la parte de $ \lambda  $  al segundo miembro :

$  \left\{\begin{matrix} x - y   = - \lambda\\2x - y  = - 4\lambda-2
\end{matrix}\right.  $ .

 Resolvemos el sistema en función de $ \lambda  $  :

$  \left\{\begin{matrix} x - y   = - \lambda\\2x - y  = - 4\lambda-2
\end{matrix}\right.  \rightarrow \left\{\begin{matrix} -x + y   = + \lambda\\2x - y  = - 4\lambda-2
\end{matrix}\right. \rightarrow Sumamos :  x = -3 \lambda - 2 $

Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos x :

$ x - y = -\lambda \Rightarrow y = x + \lambda = -3\lambda - 2+ \lambda  = - 2\lambda - 2 \Rightarrow  y = - 2\lambda - 2 $ .

El sistema queda del siguiente modo :

$ \left\{\begin{matrix}
x = -3\lambda - 2\\y =-2\lambda -2
\\z = \lambda
\end{matrix}\right. $

Pues bien, justo ésas serán las ecuaciones paramétricas de la recta  r . En esas ecuaciones, los coeficientes de $ \lambda $ determinarán un vector director , y los términos independientes , las coordenadas de un punto de la recta :

Vector director: $ \vec{v} $ = ( - 3, - 2 , 1 )
Punto : A ( -2, -2, 0 )

Comentario final:  Otra forma de resolver el ejercicio sería obteniendo dos puntos de la recta, calculando el vector que determinan y escribiendo finalmente las ecuaciones paramétricas usando ese vector y ese punto. Si queréis en otro momento lo hacemos de este modo . Gracias por visitar mi blog. Espero que os sea útil.


sábado, 27 de abril de 2013

Ejercicio Parábolas - Nivel ESO

Ejercicio: Representa gráficamente la función  $ f(x)= x^{2} + x - 2 $

Sabemos que la representación gráfica de f (x) será una parábola  (porque f (x ) es una función polinómica de grado 2 y la gráfica de este tipo de funciones es siempre una parábola )

Al igualar la ecuación de nuestra función   $ f(x)= x^{2} + x - 2 $  a la expresión general de las funciones cuadráticas   $ f(x)=  ax^{2} + bx  + c $   deducimos que en nuestro caso : a = 1  (coeficiente de $ x^{2} $ ) ,  b = 1 (coeficiente de x )  y  c = -2  (término independiente )

Observamos que en  $ f(x)= x^{2} + x - 2 $  , a = 1 > 0 :  la parábola será abierta hacia arriba :


Calculemos ahora el vértice de la parábola :  la abscisa del vértice es siempre  $x = -\frac{b}{2a}$  sustituimos:

$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2*1}= -\frac{1}{2}$

$  f ( -\frac{1}{2} ) = \left ( \frac{-1}{2} \right )^2+ \frac{-1}{2} - 2 = \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2 = \frac{1}{4}-\frac{2}{4} - \frac{8}{4} = \frac{-9}{4} $

Por tanto,  el vértice ( en este caso el mínimo relativo por ser a > 0 ) es el punto : $ V \left ( \frac{- 1}{2} ,\frac{- 9}{4}  \right ) $

Punto de corte con el eje de ordenadas : es el punto de abscisa x = 0 : f ( 0 ) = - 2 .
Obtenemos : P ( 0 , -2 )

Puntos de corte con el eje x : Resolvemos la ecuación  $ x^{2} + x - 2 = 0  $ :

$ x = \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}= \frac{-1\pm \sqrt{1^{2}-4*1*(-2))} }{2*1} = \frac{-1\pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1\pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3 }{2} $ . 

Soluciones:  $ x = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $ ; Punto de corte : Q ( 1 , 0 )

                   $ x = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{- 4}{2} =  -2 $ ; Punto de corte : R( - 2 , 0 )

Finalmente, la representación gráfica de  $ f(x)= x^{2} + x - 2 $  quedará del siguiente modo:



viernes, 26 de abril de 2013

Parábolas - Nivel ESO

La representación gráfica de las funciones polinómicas de grado 2 , es decir, de las funciones de la forma $ f(x)= ax^{2}+bx+c $   (donde a, b y c son números reales ) es una parábola . Las parábolas obtenidas como representación gráfica de una función sólo pueden presentar una de las siguientes situaciones:


  

 (no podrían aparecer como "volcadas" hacia la derecha o hacia la izquierda , la razón es que "volcadas" no podrían ser una función ya que para cada valor de tendríamos dos valores de y  y eso es imposible en las funciones )

Hay varias cuestiones que es interesante tener en cuenta a la hora de trabajar con una función polinómica de grado 2 ( también se llama función cuadrática ) :

$ f(x)= ax^{2}+bx+c $
       
 - Si a > 0 : la parábola irá siempre hacia arriba  
                            
 - Si a < 0: la parábola irá hacia abajo 


- En ambos casos, el vértice será el punto de abscisa : $ x=\frac{-b}{2a} $  ( es decir V ( $ \frac{-b}{2a}, f(\frac{-b}{2a})  $ )  ya que el vértice pertenece a la gráfica  ) .

El vértice será el mínimo relativo cuando a > 0 y el máximo relativo para a < 0

- El punto de abscisa  x = 0  nos dará el corte con el eje de ordenadas : P( 0, f (0) ) = ( 0 , c )

- Respecto a los puntos de corte con el eje de abscisas ( el eje x ) , son los puntos en los que  f(x) = 0 ; por tanto, los calcularemos resolviendo la ecuación:

$  ax^{2}+bx+c = 0 $  cuyas soluciones se obtienen con la fórmula : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $

La ecuación puede tener : 2 soluciones , 1 solución  o ninguna solución , dependiendo del signo del discriminante ( $  b^{2}-4ac $ )

Si $ b^{2}-4ac  >  0 $  La ecuación tiene dos soluciones y por tanto la función   $ f(x)= ax^{2}+bx+c $   tiene dos puntos de corte con el eje x .

                          


Si $ b^{2}-4ac  =  0 $  La ecuación tiene una única solución y por consiguiente la parábola cortará al eje x en un único punto ( que coincidirá con el vértice )

                     

Si $ b^{2}-4ac  <  0 $  La ecuación no tiene solución y en este caso , la parábola no cortará al eje de abscisas ( quedará siempre por encima o por debajo de dicho eje, dependiendo del signo de a : si a > 0, siempre por encima del eje y si a < 0 , siempre por debajo )

                     

lunes, 22 de abril de 2013

Geometría en el Espacio I

Dados los puntos A = (1,0,1), B=(0,0,-1) y C=(3, m , n ), se pide:

(a) Determina, si es posible, m y n de forma que los tres puntos estén alineados.

(b) Encuentra, si existe, un punto Q situado en el eje OY y tal que el triángulo ABQ sea un triángulo rectángulo con ángulo recto en B.

(c) Si D es el punto D=(2,0,-2), prueba que el triángulo ABD es rectángulo y calcula su área

(a) Tres puntos están alineados cuando al formar dos vectores usando los tres puntos , dichos vectores sean paralelos ( o lo que es lo mismo, sean proporcionales )

Calculamos los vectores $\ \vec{AB}   y   \vec{AC} $ :

$\ \vec{AB}$ = (0-1, 0-0, -1 - 1) = (- 1, 0, - 2)           $\ \vec{AC}$ = (3 - 1, m - 0, n - 1) = (2, m, n-1) 

Para que $\ \vec{AB} $ sea paralelo a $\ \vec{AC}$ :

$ \frac{-1}{2}=\frac{0}{m}=\frac{-2}{n-1} $    de donde:


$ \frac{-1}{2}=\frac{0}{m} \Rightarrow m · (-1) = 2 · 0 \Rightarrow - m = 0 \Rightarrow m = 0 $

$ \frac{-1}{2}=\frac{-2}{n-1} \Rightarrow (n-1) · ( -1) = 2 · (-2) \Rightarrow -n + 1 = -4 \Rightarrow n = 5 $

Por tanto, para que los tres puntos estén alineados : m = 0 y n = 5

(b) El eje OY tiene ecuación: $ \left\{\begin{matrix} x=0\\ z=0 \end{matrix}\right.$ ,
 por tanto el punto Q será de la forma Q (0, q, 0 ) 

  Para que tengamos ángulo recto en B , debe ocurrir que los vectores
$\ \vec{AB}    y  \vec{BQ} $  sean perpendiculares 


$\ \vec{AB} $ = (- 1, 0, - 2)                          $\ \vec{BQ} $ = (0 - 0, q - 0,0 - (-1))= (0, q, 1 )

Para que sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero: $\ \vec{AB} · \vec{BQ} = 0 $

$\ \vec{AB} · \vec{BQ} = (-1) · 0 + 0 · q + (-2) · 1 = - 2 $

Observamos que el producto escalar vale siempre -2 (por tanto no puede ser igual a cero para ningún valor de q ) y por consiguiente, no hay ningún punto Q del Eje OY para el que se cumplan las condiciones del apartado (b) .

(c) Al igual que en el apartado (b) , calculamos los vectores $\ \vec{AB}  y  \vec{BD}$ :

$\ \vec{AB}$ = (- 1, 0, - 2)                               $\ \vec{BD}$ = (2 - 0, 0 - 0 , - 2- (-1)) = (2 , 0. -1)

Calculamos  $\ \vec{AB} · \vec{BD}$ = (-1) · 2 + 0 · 0 + (-2) · (-1) = 0 
El triángulo es rectángulo en B

Observación: Podría ocurrir que el triángulo no fuera rectángulo en B sino en otro de los puntos . Si por ejemplo fuera rectángulo en A : $\ \vec{AB} · \vec{AD}$ seria igual a 0 ( y   $\ \vec{AB} · \vec{BD} \neq 0 $ ) . Habríamos de tener en cuenta las distintas posibilidades (según el vértice en el que estuviera el ángulo recto ) para poder asegurar si el triángulo es rectángulo o no, si bien, con que uno de los productos escalares sea igual a cero, tendríamos asegurado que lo es.

Para finalizar el ejercicio, debemos calcular el área del triángulo ABD :

La base del triángulo medirá  :
$ \left | \vec{BD} \right |= \sqrt{2^{2} + 0^{2}+ \left (-1 \right )^{2}}= \sqrt{4+0+1}= \sqrt{5} $ u
 ( donde u es la unidad de medida de longitud )

La altura : $ \left | \vec{AB} \right |= \sqrt{\left (-1  \right )^{2} + 0^{2}+ \left (-2  \right )^{2}}= \sqrt{1+0+4}= \sqrt{5} $ u

Y el área valdrá: 

$ A = \frac{Base * Altura}{2}= \frac{\left | \vec{BD} \right |*\left | \vec{AB} \right |}{2}= \frac{\sqrt{5}*\sqrt{5}}{2}= \frac{5}{2} $ $ u^{2} $

martes, 5 de marzo de 2013

¿Cómo aprobar las Matemáticas?

Las Matemáticas son una ciencia amplísima y hay infinidad de documentos por internet para quien quiera estudiar, repasar, hacer ejercicios ... Me gustaría que vosotros me planteaseis dudas, dificultades que tengáis en situaciones concretas, sobre temas o ejercicios que no entendáis, etc .

Se me ocurre hoy responder a una pregunta que quizás muchos estudiantes se hayan planteado infinidad de veces: ¿Cómo se hace para aprobar las matemáticas ? . El verdadero problema, desde mi punto de vista es que con frecuencia los estudiantes tienen muy mala base en matemáticas: problemas con los signos, con el orden de las operaciones, no tienen claros algunos conceptos ... es por ello que mi consejo sería , en primer lugar revisar y resolver ese tipo de dificultades : nadie va a resolver bien una integral o un problema de resolución de triángulos si se equivoca al hacer un cálculo tan simple como: 2-3x5 .

Una vez resueltas las dudas sobre reglas de signos, prioridad en las operaciones, cálculos con fracciones, potencias, raíces, etc ... llega el momento de entender qué significa el nuevo concepto que se estudia, cómo se utiliza y a partir de ahí, practicarlo mucho : buscar ejercicios resueltos ( en internet hay infinidad de páginas con ejercicios resueltos de cualquier tipo ...) , intentar los ejercicios sin mirar y después comparar el resultado ( si hay errores, ver dónde está el error , entenderlo y volver a intentarlo ... ) .

 Las matemáticas son bellísimas pero hay que entenderlas y practicarlas mucho para obtener la gratificación de ver que se dominan . Os propongo que me enviéis dudas, dificultades que tengáis en los temas que estéis viendo en clase y en la medida de mis posibilidades intentaré ayudaros a resolverlos . Gracias por leerme . Saludos . Hasta la próxima

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