Ejercicio Parábolas - Nivel ESO

Ejercicio: Representa gráficamente la función  $ f(x)= x^{2} + x - 2 $

Sabemos que la representación gráfica de f (x) será una parábola  (porque f (x ) es una función polinómica de grado 2 y la gráfica de este tipo de funciones es siempre una parábola )

Al igualar la ecuación de nuestra función   $ f(x)= x^{2} + x - 2 $  a la expresión general de las funciones cuadráticas   $ f(x)=  ax^{2} + bx  + c $   deducimos que en nuestro caso : a = 1  (coeficiente de $ x^{2} $ ) ,  b = 1 (coeficiente de x )  y  c = -2  (término independiente )

Observamos que en  $ f(x)= x^{2} + x - 2 $  , a = 1 > 0 :  la parábola será abierta hacia arriba :

Calculemos ahora el vértice de la parábola :  la abscisa del vértice es siempre  $x = -\frac{b}{2a}$  sustituimos:

$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2*1}= -\frac{1}{2}$

$  f ( -\frac{1}{2} ) = \left ( \frac{-1}{2} \right )^2+ \frac{-1}{2} - 2 = \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2 = \frac{1}{4}-\frac{2}{4} - \frac{8}{4} = \frac{-9}{4} $

Por tanto,  el vértice ( en este caso el mínimo relativo por ser a > 0 ) es el punto : $ V \left ( \frac{- 1}{2} ,\frac{- 9}{4}  \right ) $

Punto de corte con el eje de ordenadas : es el punto de abscisa x = 0 : f ( 0 ) = - 2 .
Obtenemos : P ( 0 , -2 )

Puntos de corte con el eje x : Resolvemos la ecuación  $ x^{2} + x - 2 = 0  $ :

$ x = \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}= \frac{-1\pm \sqrt{1^{2}-4*1*(-2))} }{2*1} = \frac{-1\pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1\pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3 }{2} $ . 

Soluciones:  $ x = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $ ; Punto de corte : Q ( 1 , 0 )

                   $ x = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{- 4}{2} =  -2 $ ; Punto de corte : R( - 2 , 0 )

Finalmente, la representación gráfica de  $ f(x)= x^{2} + x - 2 $  quedará del siguiente modo:

Parábolas - Nivel ESO

La representación gráfica de las funciones polinómicas de grado 2 , es decir, de las funciones de la forma $ f(x)= ax^{2}+bx+c $   (donde a, b y c son números reales ) es una parábola . Las parábolas obtenidas como representación gráfica de una función sólo pueden presentar una de las siguientes situaciones:

  

 (no podrían aparecer como "volcadas" hacia la derecha o hacia la izquierda , la razón es que "volcadas" no podrían ser una función ya que para cada valor de x  tendríamos dos valores de y  y eso es imposible en las funciones )

Hay varias cuestiones que es interesante tener en cuenta a la hora de trabajar con una función polinómica de grado 2 ( también se llama función cuadrática ) :

$ f(x)= ax^{2}+bx+c $

       

 - Si a > 0 : la parábola irá siempre hacia arriba  

                            

 - Si a < 0: la parábola irá hacia abajo 


- En ambos casos, el vértice será el punto de abscisa : $ x=\frac{-b}{2a} $  ( es decir V ( $ \frac{-b}{2a}, f(\frac{-b}{2a})  $ )  ya que el vértice pertenece a la gráfica  ) .

El vértice será el mínimo relativo cuando a > 0 y el máximo relativo para a < 0

- El punto de abscisa  x = 0  nos dará el corte con el eje de ordenadas : P( 0, f (0) ) = ( 0 , c )

- Respecto a los puntos de corte con el eje de abscisas ( el eje x ) , son los puntos en los que  f(x) = 0 ; por tanto, los calcularemos resolviendo la ecuación:

$  ax^{2}+bx+c = 0 $  cuyas soluciones se obtienen con la fórmula : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $

La ecuación puede tener : 2 soluciones , 1 solución  o ninguna solución , dependiendo del signo del discriminante ( $  b^{2}-4ac $ )

Si $ b^{2}-4ac  >  0 $  La ecuación tiene dos soluciones y por tanto la función   $ f(x)= ax^{2}+bx+c $   tiene dos puntos de corte con el eje x .

                          

Si $ b^{2}-4ac  =  0 $  La ecuación tiene una única solución y por consiguiente la parábola cortará al eje x en un único punto ( que coincidirá con el vértice )

                     

Si $ b^{2}-4ac  <  0 $  La ecuación no tiene solución y en este caso , la parábola no cortará al eje de abscisas ( quedará siempre por encima o por debajo de dicho eje, dependiendo del signo de a : si a > 0, siempre por encima del eje y si a < 0 , siempre por debajo )

                     

Geometría en el Espacio I

Dados los puntos A = (1,0,1), B=(0,0,-1) y C=(3, m , n ), se pide:

(a) Determina, si es posible, m y n de forma que los tres puntos estén alineados.

(b) Encuentra, si existe, un punto Q situado en el eje OY y tal que el triángulo ABQ sea un triángulo rectángulo con ángulo recto en B.

(c) Si D es el punto D=(2,0,-2), prueba que el triángulo ABD es rectángulo y calcula su área
(a) Tres puntos están alineados cuando al formar dos vectores usando los tres puntos , dichos vectores sean paralelos ( o lo que es lo mismo, sean proporcionales )

Calculamos los vectores $\ \vec{AB}   y   \vec{AC} $ :

$\ \vec{AB}$ = (0-1, 0-0, -1 - 1) = (- 1, 0, - 2)           $\ \vec{AC}$ = (3 - 1, m - 0, n - 1) = (2, m, n-1) 

Para que $\ \vec{AB} $ sea paralelo a $\ \vec{AC}$ :

$ \frac{-1}{2}=\frac{0}{m}=\frac{-2}{n-1} $    de donde:

$ \frac{-1}{2}=\frac{0}{m} \Rightarrow m · (-1) = 2 · 0 \Rightarrow - m = 0 \Rightarrow m = 0 $

$ \frac{-1}{2}=\frac{-2}{n-1} \Rightarrow (n-1) · ( -1) = 2 · (-2) \Rightarrow -n + 1 = -4 \Rightarrow n = 5 $

Por tanto, para que los tres puntos estén alineados : m = 0 y n = 5

(b) El eje OY tiene ecuación: $ \left\{\begin{matrix} x=0\\ z=0 \end{matrix}\right.$ ,

 por tanto el punto Q será de la forma Q (0, q, 0 ) 

  Para que tengamos ángulo recto en B , debe ocurrir que los vectores

$\ \vec{AB}    y  \vec{BQ} $  sean perpendiculares 

$\ \vec{AB} $ = (- 1, 0, - 2)                          $\ \vec{BQ} $ = (0 - 0, q - 0,0 - (-1))= (0, q, 1 )

Para que sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero: $\ \vec{AB} · \vec{BQ} = 0 $

$\ \vec{AB} · \vec{BQ} = (-1) · 0 + 0 · q + (-2) · 1 = - 2 $

Observamos que el producto escalar vale siempre -2 (por tanto no puede ser igual a cero para ningún valor de q ) y por consiguiente, no hay ningún punto Q del Eje OY para el que se cumplan las condiciones del apartado (b) .

(c) Al igual que en el apartado (b) , calculamos los vectores $\ \vec{AB}  y  \vec{BD}$ :

$\ \vec{AB}$ = (- 1, 0, - 2)                               $\ \vec{BD}$ = (2 - 0, 0 - 0 , - 2- (-1)) = (2 , 0. -1)

Calculamos  $\ \vec{AB} · \vec{BD}$ = (-1) · 2 + 0 · 0 + (-2) · (-1) = 0 

El triángulo es rectángulo en B

Observación: Podría ocurrir que el triángulo no fuera rectángulo en B sino en otro de los puntos . Si por ejemplo fuera rectángulo en A : $\ \vec{AB} · \vec{AD}$ seria igual a 0 ( y   $\ \vec{AB} · \vec{BD} \neq 0 $ ) . Habríamos de tener en cuenta las distintas posibilidades (según el vértice en el que estuviera el ángulo recto ) para poder asegurar si el triángulo es rectángulo o no, si bien, con que uno de los productos escalares sea igual a cero, tendríamos asegurado que lo es.

Para finalizar el ejercicio, debemos calcular el área del triángulo ABD :

La base del triángulo medirá  :
$ \left | \vec{BD} \right |= \sqrt{2^{2} + 0^{2}+ \left (-1 \right )^{2}}= \sqrt{4+0+1}= \sqrt{5} $ u

 ( donde u es la unidad de medida de longitud )

La altura : $ \left | \vec{AB} \right |= \sqrt{\left (-1  \right )^{2} + 0^{2}+ \left (-2  \right )^{2}}= \sqrt{1+0+4}= \sqrt{5} $ u

Y el área valdrá: 

$ A = \frac{Base * Altura}{2}= \frac{\left | \vec{BD} \right |*\left | \vec{AB} \right |}{2}= \frac{\sqrt{5}*\sqrt{5}}{2}= \frac{5}{2} $ $ u^{2} $