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jueves, 22 de noviembre de 2012
MÉTODO DE GAUSS IV
Ejercicio : Considera el sistema de ecuaciones
x + y + z = λ+1
3y + 2z = 2λ+3
3x + (λ-1)y + z = λ
(a) Resuelve el sistema para λ = 1.
(b) Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución y obtén una expresión de dicha solución en función del parámetro λ
(c) ¿Existe algún valor de λ para que el sistema admita la solución (-1/2,0,1/2)?
- Antes de empezar el ejercicio, vamos a discutir el sistema según los valores de λ:
Si observamos el sistema, vemos que en la primera ecuación aparecen las tres incógnitas y que el coeficiente de x es igual a 1, es una ecuación que nos viene bien a la hora de buscar simplicidad en la aplicación del método de Gauss.
En la tercera ecuación observamos que el coeficiente de y es (λ - 1) mientras que el de z es 1; en el segundo paso de método de Gauss ( tras eliminar x en la tercera ecuación) nos resultará más cómodo y más sencillo eliminar la z en lugar de la y (así no tendremos que multiplicar por (λ - 1) ). Es por todo esto que nos interesa cambiar el orden de las incógnitas z e y si queremos que nuestro sistema final quede en la forma escalonada a la que estamos habituados , esto es, que queden x, z, y en la primera, z, y en la segunda y z en la tercera
Empecemos entonces por cambiar de orden las incógnitas z e y :
x + z + y = λ+1
2z + 3y = 2λ+3
3x + z + (λ-1)y = λ
Para simplificar los cálculos ( y también evitar confusiones al copiar las incógnitas ) , vamos a trabajar el sistema en forma matricial, para ello cogemos la matriz ampliada del sistema:
$ \begin{bmatrix}1&1&1&\lambda +1\\0 & 2 & 3 & 2 \lambda +3\\3 & 1 & \lambda -1 & \lambda \end{bmatrix} \underline{-3 · ( 1^{a} )+(3^{a}) \rightarrow (3^{a})} \begin{bmatrix}1&1&1&\lambda +1\\0 & 2 & 3 & 2 \lambda +3\\3 & 1 & \lambda -1 & \lambda \end{bmatrix}$
$ \underline{ ( 2^{a} )+(3^{a}) \rightarrow (3^{a})} \begin{bmatrix}1&1&1&\lambda +1\\0 & 2 & 3 & 2 \lambda +3\\0 & 0 & \lambda -1 & 0 \end{bmatrix} $
-------------------------------------------------------------------------------
Cálculos:
$\underline{-3 · ( 1^{a} )+(3^{a}) \rightarrow (3^{a})}$ $ \underline{ ( 2^{a} )+(3^{a}) \rightarrow (3^{a})}$
-3 -3 -3 -3λ-3 0 2 3 2λ+3
3 1 λ-1 λ 0 -2 λ-4 - 2λ-3
------------------------- ------------------------------
-2 λ-4 -2λ-3 0 0 λ-1 0
--------------------------------------------------------------------------------
Por tanto el sistema queda del siguiente modo:
x + z + y = λ+1
2z + 3y = 2λ+3
(λ-1)y = 0
- Si λ-1 = 0 => λ = 1 , la tercera ecuación es de la forma 0=0 , el sistema quedaría :
x + z + y = 1+1 __________ x + z + y = 2
2z + 3y = 2·1+3 2z +3y = 5
Observamos : 3 incógnitas > 2 ecuaciones : Sistema compatible indeterminado .
- Si λ $ \neq $ 1 : Sistema compatible determinado
Una vez hecha la discusión del sistema en función de los valores de λ , pasemos a resolver los apartados (a) , (b ) y (c) del ejercicio:
(a) Resuelve el sistema para λ = 1.
x + z + y = 2
2z +3y = 5
Sabemos por la discusión anterior , que el sistema es Compatible Indeterminado , además, el número de parámetros necesarios para la resolución será :
Nª parámetros = Nº Incógnitas - Nº Ecuaciones = 3 - 2 = 1
Llamamos t al parámetro y tomamos z = t: :
x + t + y = 2
2t +3y = 5
Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos en la primera para obtener x :
2t +3y = 5 => 3y = 5 - 2t => y= $ \frac{5 - 2t}{3} $
x = 2 - t - $ \frac{5 - 2t}{3} $ = $ \frac{6-3t-5 + 2t}{3} $ = $ \frac{1 - t}{3} $ => x = $ \frac{1 - t}{3} $
Por tanto el conjunto de soluciones del sistema compatible indeterminado es:
x = $ \frac{1 - t}{3} $ ; y= $ \frac{5 - 2t}{3} $ ; z = t donde t es cualquier número real
(b) Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución y obtén una expresión de dicha solución en función del parámetro λ
x + z + y = λ+1
2z + 3y = 2λ+3
(λ-1)y = 0
Sabemos que si λ $ \neq $ 1 el sistema es compatible determinado ( es decir, tiene solución única ) . Despejamos las incógnitas igual que haríamos con cualquier sistema de este tipo:
- Despejamos y en la última ecuación:
(λ-1)y = 0 => y = $ \frac{0}{λ-1} $ = 0 => y = 0 (al dividir 0 por cualquier número distinto de cero , el resultado es cero )
- Sustituimos y en la segunda ecuación y despejamos z :
2z + 3 · 0 = 2λ+3 => 2z = 2λ+3 => z = $ \frac{2λ+3}{2} $
- Por últimos sustituimos z e y en la primera ecuación y despejamos x :
x + z + y = λ+1 => x + $ \frac{2λ+3}{2} $ + 0 = λ+1 => x = λ+1 - $ \frac{2λ+3}{2} $ = $ \frac{2λ+2 - 2λ - 3}{2} $ = $ \frac{- 1}{2} $
=> x = $ \frac{- 1}{2} $
Por tanto, para cada valor de λ$ \neq $ 1, la solución del sistema es :
x = $ \frac{- 1}{2} $ ; y = 0 ; z = $ \frac{2λ+3}{2} $
Comentario: es importante tener claro que el significado del parámetro λ y el del parámetro t no es el mismo: mientras que para cada valor de λ tenemos un sistema de ecuaciones distinto ( y si λ$ \neq $ 1, tendrá una solución única determinada por las expresiones anteriores ) , el parámetro t (que usamos en el caso concreto λ = 1 ) nos proporcionará las soluciones del sistema compatible indeterminado al ir dándole a t valores dentro del conjunto de los números reales .
(c) ¿Existe algún valor de λ para que el sistema admita la solución (-1/2,0,1/2)?
Ahora nos preguntan si hay un sistema de ecuaciones concreto que tenga esa solución. La forma más sencilla de responder a la pregunta es irnos a la expresión general del sistema de ecuaciones escalonado , sustituir estos valores y comprobar si el valor de λ que se obtiene es el mismo en las tres ecuaciones:
x + z + y = λ+1 => $\frac{- 1}{2}$ +$ \frac{1}{2}$ + 0 = λ+1 => 0 = λ+1 => λ = - 1
2z + 3y = 2λ+3 => 2 · $\frac{1}{2}$ + 3 · 0 = 2λ+3 => 1 = 2λ+3 => 2λ= -2 => λ = - 1
(λ-1)y = 0 => Si λ = - 1, se cumple la ecuación
Por tanto, si λ = - 1 el sistema admite la solución (-1/2,0,1/2)
Observación final: sabemos por la discusión en función de λ que si λ $ \neq $ 1 el sistema es compatible determinado, por tanto para λ = - 1 el sistema es compatible determinado y su solución única es (-1/2,0,1/2)
Espero que el ejercicio os sea útil . Gracias por seguir mi blog :)
viernes, 16 de noviembre de 2012
MÉTODO DE GAUSS III
Resolvamos ahora el siguiente ejercicio:
Considera el sistema de ecuaciones
2x − 2y + 4z = 4
2x + z = a
−3x − 3y + 3z = −3
(a) Discútelo según los valores del parámetro a.
(b) Resuélvelo cuando sea posible.
Observamos que podríamos dividir la primera ecuación por 2 y la tercera ecuación por 3 y obtendríamos un sistema equivalente (tendría las mismas soluciones) y con números más pequeños y por tanto más cómodos a la hora de hacer cálculos.
También vemos que en la segunda ecuación no aparece la incógnita y , si cambiáramos por ejemplo la 2ª por la 3ª ecuación, ya tendríamos eliminada la y , y eso simplificaría cálculos también .
Pero supongamos que no nos hemos dado cuenta de las puntualizaciones anteriores y empecemos a aplicar el método de Gauss tal y como lo hemos hecho en los posts anteriores
(a) Discútelo según los valores del parámetro a.
- Eliminamos x en la segunda y tercera ecuación :
2x − 2y + 4z = 4 $( E_{1}) \rightarrow ( E_{1} )$
2x + z = a $( E_{2}) \rightarrow ( E_{1}) - ( E_{2} )$ (*)
−3x − 3y + 3z = −3 $( E_{3}) \rightarrow3· ( E_{1}) +2·( E_{3} )$
$( E_{1}) - ( E_{2} ) $ $ 3· ( E_{1}) +2·( E_{3} )$
2x − 2y + 4z = 4 6x - 6y +12z = 12
-2x - z = -a -6x - 6y + 6z = -6
----------------------- -----------------------
- 2y + 3z = 4 - a -12y + 18z = 6
Tras sustituir en (*) el sistema queda:
2x − 2y + 4z = 4 (1ª)
- 2y + 3z = 4 - a (2ª)
-12y + 18z = 6 (3ª)
Eliminamos y en la tercera ecuación: sustituimos (3ª) por : -6 · (2ª) + ( 3ª)
-6 · (2ª) + ( 3ª)
12y - 18z = -6. (4 - a)
-12y + 18z = 6
---------------------------
0 = -6 · (4- a) + 6 // Cálculos: -6 · (4- a) + 6 = -24 + 6a + 6 = - 18 + 6a
El sistema queda de la siguiente forma:
2x − 2y + 4z = 4
- 2y + 3z = 4 - a
0 = -18 + 6a
Casos posibles:
1ª) -18 + 6a = 0 => 6a = 18 => a = $ \frac{18}{6} $ = 3 => a = 3
Veamos cómo queda el sistema si a = 3:
2x − 2y + 4z = 4 2x − 2y + 4z = 4 Sistema Compatible
- 2y + 3z = 4 - 3 => - 2y + 3z = 1 Indeterminado
0 = -18 + 6· 3 0 = 0
Como en el apartado a) del ejercicio sólo nos piden la discusión, en principio dejamos este caso tal y como está ( en el apartado b) volveremos a este sistema para resolverlo )
2) a $ \neq$3 . En este caso, la tercera ecuación quedará de la forma 0 igual a un número distinto de cero ( por ejemplo : si a = 0 , nos quedará 0 = -18 y eso es imposible ) , y por tanto, el sistema no tendrá solución, diremos entonces que el Sistema es Incompatible , luego:
si a $ \neq$3 el Sistema es Incompatible
(b) Resuélvelo cuando sea posible.
El único caso en que el sistema tiene solución es cuando a = 3 (infinitas soluciones ).
2x − 2y + 4z = 4
- 2y + 3z = 1
Calculamos las soluciones en función de un parámetro t , tomamos z = t y ,despejamos y en la (3ª):
- 2y + 3z = 1 => -2y = 1 - 3z => y = $ \frac{1-3z}{-2} $ = $ \frac{-1+3z}{2} $ => y = $ \frac{- 1 + 3t}{2} $
Sustituimos z e y en la primera y despejamos x:
2x − 2y + 4z = 4 => 2x -2 · $ \frac{- 1 + 3t}{2} $ + 4t = 4 => 2x - ( - 1 + 3t ) + 4t = 4 => 2x + 1 - 3t + 4t = 4 => 2x + 1 + t = 4 => 2x = 4 - 1 - t => x = $ \frac{3 - t}{2} $
Conjunto de soluciones : x = $ \frac{3 - t}{2} $
y = $ \frac{- 1 + 3t}{2} $ donde t es cualquier número real
z = t
El ejercicio aquí ya habría terminado, de todas formas es aconsejable (aunque no nos lo piden ) comprobar que dando valores a t obtenemos soluciones del sistema . Así, por ejemplo:
Para t = - 1 : x = $ \frac{3 - (- 1)}{2} $ =$ \frac{3 +1}{2} $ = 2 => x = 2;
y = $ \frac{- 1 + 3· (-1)}{2} $ = $ \frac{- 1 - 3}{2} $ = -2 => y = - 2
z = t = - 1 => z = - 1
sustituimos x= 2, y = -2, z = -1 en el sistema:
2x − 2y + 4z = 4 => 2· 2 - 2 · (-2) + 4 ·(- 1) = 4 => 4 + 4 - 4 = 4
- 2y + 3z = 1 => -2 · ( -2) + 3 ·( - 1) = 1 => 4 - 3 = 1
Vemos que efectivamente se cumplen las igualdades . Del mismo modo se podrían obtener más soluciones del sistema (os propongo que lo hagáis vosotros y comprobéis que se cumple el sistema ;) )
Espero que el ejercicio os haya aclarado dudas y os sirva . Gracias por visitar mi blog.
Hasta pronto ;)
Considera el sistema de ecuaciones
2x − 2y + 4z = 4
2x + z = a
−3x − 3y + 3z = −3
(a) Discútelo según los valores del parámetro a.
(b) Resuélvelo cuando sea posible.
Observamos que podríamos dividir la primera ecuación por 2 y la tercera ecuación por 3 y obtendríamos un sistema equivalente (tendría las mismas soluciones) y con números más pequeños y por tanto más cómodos a la hora de hacer cálculos.
También vemos que en la segunda ecuación no aparece la incógnita y , si cambiáramos por ejemplo la 2ª por la 3ª ecuación, ya tendríamos eliminada la y , y eso simplificaría cálculos también .
Pero supongamos que no nos hemos dado cuenta de las puntualizaciones anteriores y empecemos a aplicar el método de Gauss tal y como lo hemos hecho en los posts anteriores
(a) Discútelo según los valores del parámetro a.
- Eliminamos x en la segunda y tercera ecuación :
2x − 2y + 4z = 4 $( E_{1}) \rightarrow ( E_{1} )$
2x + z = a $( E_{2}) \rightarrow ( E_{1}) - ( E_{2} )$ (*)
−3x − 3y + 3z = −3 $( E_{3}) \rightarrow3· ( E_{1}) +2·( E_{3} )$
$( E_{1}) - ( E_{2} ) $ $ 3· ( E_{1}) +2·( E_{3} )$
2x − 2y + 4z = 4 6x - 6y +12z = 12
-2x - z = -a -6x - 6y + 6z = -6
----------------------- -----------------------
- 2y + 3z = 4 - a -12y + 18z = 6
Tras sustituir en (*) el sistema queda:
2x − 2y + 4z = 4 (1ª)
- 2y + 3z = 4 - a (2ª)
-12y + 18z = 6 (3ª)
Eliminamos y en la tercera ecuación: sustituimos (3ª) por : -6 · (2ª) + ( 3ª)
-6 · (2ª) + ( 3ª)
12y - 18z = -6. (4 - a)
-12y + 18z = 6
---------------------------
0 = -6 · (4- a) + 6 // Cálculos: -6 · (4- a) + 6 = -24 + 6a + 6 = - 18 + 6a
El sistema queda de la siguiente forma:
2x − 2y + 4z = 4
- 2y + 3z = 4 - a
0 = -18 + 6a
Casos posibles:
1ª) -18 + 6a = 0 => 6a = 18 => a = $ \frac{18}{6} $ = 3 => a = 3
Veamos cómo queda el sistema si a = 3:
2x − 2y + 4z = 4 2x − 2y + 4z = 4 Sistema Compatible
- 2y + 3z = 4 - 3 => - 2y + 3z = 1 Indeterminado
0 = -18 + 6· 3 0 = 0
Como en el apartado a) del ejercicio sólo nos piden la discusión, en principio dejamos este caso tal y como está ( en el apartado b) volveremos a este sistema para resolverlo )
2) a $ \neq$3 . En este caso, la tercera ecuación quedará de la forma 0 igual a un número distinto de cero ( por ejemplo : si a = 0 , nos quedará 0 = -18 y eso es imposible ) , y por tanto, el sistema no tendrá solución, diremos entonces que el Sistema es Incompatible , luego:
si a $ \neq$3 el Sistema es Incompatible
(b) Resuélvelo cuando sea posible.
El único caso en que el sistema tiene solución es cuando a = 3 (infinitas soluciones ).
2x − 2y + 4z = 4
- 2y + 3z = 1
Calculamos las soluciones en función de un parámetro t , tomamos z = t y ,despejamos y en la (3ª):
- 2y + 3z = 1 => -2y = 1 - 3z => y = $ \frac{1-3z}{-2} $ = $ \frac{-1+3z}{2} $ => y = $ \frac{- 1 + 3t}{2} $
Sustituimos z e y en la primera y despejamos x:
2x − 2y + 4z = 4 => 2x -2 · $ \frac{- 1 + 3t}{2} $ + 4t = 4 => 2x - ( - 1 + 3t ) + 4t = 4 => 2x + 1 - 3t + 4t = 4 => 2x + 1 + t = 4 => 2x = 4 - 1 - t => x = $ \frac{3 - t}{2} $
Conjunto de soluciones : x = $ \frac{3 - t}{2} $
y = $ \frac{- 1 + 3t}{2} $ donde t es cualquier número real
z = t
El ejercicio aquí ya habría terminado, de todas formas es aconsejable (aunque no nos lo piden ) comprobar que dando valores a t obtenemos soluciones del sistema . Así, por ejemplo:
Para t = - 1 : x = $ \frac{3 - (- 1)}{2} $ =$ \frac{3 +1}{2} $ = 2 => x = 2;
y = $ \frac{- 1 + 3· (-1)}{2} $ = $ \frac{- 1 - 3}{2} $ = -2 => y = - 2
z = t = - 1 => z = - 1
sustituimos x= 2, y = -2, z = -1 en el sistema:
2x − 2y + 4z = 4 => 2· 2 - 2 · (-2) + 4 ·(- 1) = 4 => 4 + 4 - 4 = 4
- 2y + 3z = 1 => -2 · ( -2) + 3 ·( - 1) = 1 => 4 - 3 = 1
Vemos que efectivamente se cumplen las igualdades . Del mismo modo se podrían obtener más soluciones del sistema (os propongo que lo hagáis vosotros y comprobéis que se cumple el sistema ;) )
Espero que el ejercicio os haya aclarado dudas y os sirva . Gracias por visitar mi blog.
Hasta pronto ;)
viernes, 9 de noviembre de 2012
MÉTODO DE GAUSS II
Vamos a aplicar ahora el método de Gauss para resolver el siguiente sistema:
2x - 3y + z = 1 (E1)
3x + y - 2z = 0 (E2)
5x - 2y - z = 1 (E3)
Eliminemos la x en la 2ª y 3ª ecuación :
Hagamos los cálculos:
-3·(E1)+2·(E2) -5·(E1)+2·(E3)
-6x+9y-3z=-3 -10x+15y-5z=-5
Después de hacer las sustituciones indicadas en (*):
2x - 3y + z = 1 (1ª)
-(2ª) + (3ª)
-11y+ 7z= 3
Por tanto el sistema queda de la siguiente forma:
2x - 3y + z = 1
11y - 7z = -3
0 = 0
LLegados a este punto, vemos que nuestro sistema tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas . Como el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones , el sistema tendrá infinitas soluciones, será lo que se llama un Sistema Compatible Indeterminado.
Veamos ahora cómo podemos obtener una expresión para las soluciones del sistema en función de un parámetro ( un parámetro será una letra que podrá tomar cualquier valor ) . Llamemos t a nuestro parámetro .
Tomamos z = t y despejamos y en la 2ª ecuación:
11y - 7z = -3 => 11y = -3 + 7z => y = $\frac{-3+7z}{11}$ y como z = t
nos queda: y = $\frac{-3+7t}{11}$
Sustituyamos ahora los valores de z e y en la 1ª ecuación y despejemos x:
2x - 3y + z = 1 => 2x -3·$\frac{-3+7t}{11}$ + t = 1 =>
2x + $\frac{9-21t}{11}$ + t = 1 => 2x + $\frac{9-21t + 11t}{11}$ = 1
2x + $\frac{9-10t}{11}$ = 1 => 2x = 1- $\frac{9-10t}{11}$ =>
2x = $\frac{11-9+10t}{11}$ => 2x = $\frac{2+10t}{11}$ =>
x=$\frac{2+10t}{22}$ = $\frac{1+5t}{11}$
Por tanto el conjunto de infinitas soluciones del sistema en función del parámetro t será:
x = $\frac{1+5t}{11}$
y = $\frac{-3+7t}{11}$
z = t
siendo t cualquier número real .
Obtengamos ahora una solución del sistema :
Para t = 2 : x = $\frac{1+5·2}{11}$ = 1 ; y = $\frac{-3+7.2}{11}$=1; z=2
Comprobemos que x= 1, y=1, z=2 es solución del sistema inicial
2x - 3y + z = 1 => 2·1 - 3·1 + 2 = 1
3x + y - 2z = 0 => 3·1 + 1 - 2·2 = 0 Vemos que se cumplen las tres ecuaciones
5x - 2y - z = 1 => 5·1 - 2·1 - 2 = 1
Del mismo modo para cualquier otro valor de t , obtendríamos una solución . Os propongo por ejemplo, que calculéis la solución para t = 0 y la comprobéis en el sistema inicial (aunque tengáis que trabajar con fracciones, el resultado será correcto ;) ) .
Nos vemos en el próximo ejercicio :) . Gracias por visitar mi blog
2x - 3y + z = 1 (E1)
3x + y - 2z = 0 (E2)
5x - 2y - z = 1 (E3)
Como en este caso, el coeficiente de x en las tres ecuaciones es distinto de 1, las dejamos tal y como están (podría obtenerse un 1 en la primera ecuación dividiendo por 2, pero eso nos complicaría los cálculos, y en realidad lo que nos interesa es que sea distinto de cero. La idea es tener en la primera ecuación las tres incógnitas con coeficientes distintos de cero . Ya veremos en otra entrada del blog qué podemos hacer cuando no haya ninguna ecuación con las tres incógnitas ) .
(E1)-> (E1) Dejamos la 1ª ecuación igual
(E2)-> -3·(E1)+2(E2) Sustituimos 2ª ec. por: -3·(E1)+2(E2) (*)
(E3)-> -5·(E1)+2(E3) Sustituimos 3ª ec. por: -5·(E1)+2(E3)
Hagamos los cálculos:
-3·(E1)+2·(E2) -5·(E1)+2·(E3)
-6x+9y-3z=-3 -10x+15y-5z=-5
6x+2y-4z= 0 10x -4y-2z= 2
------------- --------------
11y-7z=-3 11y-7z=-3
Después de hacer las sustituciones indicadas en (*):
2x - 3y + z = 1 (1ª)
11y- 7z=-3 (2ª)
11y- 7z=-3 (3ª)
(1ª)->(1ª)
En el paso siguiente eliminamos y en la 3ª: (2ª)->(2ª)
(3ª)-> -(2ª)+(3ª)
-(2ª) + (3ª)
-11y+ 7z= 3
11y- 7z=-3
-------------
0 = 0
Por tanto el sistema queda de la siguiente forma:
11y - 7z = -3
0 = 0
El que la 3ª ecuación quede 0=0 en realidad lo que nos dice es que podemos obtenerla a partir de las otras dos ( si os fijáis, es la suma de la 1ª y la 2ª que teníamos al principio ) y por tanto podemos descartarla. Nos quedamos entonces con las otras dos ecuaciones:
2x - 3y + z = 1
11y - 7z =-3 LLegados a este punto, vemos que nuestro sistema tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas . Como el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones , el sistema tendrá infinitas soluciones, será lo que se llama un Sistema Compatible Indeterminado.
Veamos ahora cómo podemos obtener una expresión para las soluciones del sistema en función de un parámetro ( un parámetro será una letra que podrá tomar cualquier valor ) . Llamemos t a nuestro parámetro .
Tomamos z = t y despejamos y en la 2ª ecuación:
11y - 7z = -3 => 11y = -3 + 7z => y = $\frac{-3+7z}{11}$ y como z = t
nos queda: y = $\frac{-3+7t}{11}$
Sustituyamos ahora los valores de z e y en la 1ª ecuación y despejemos x:
2x - 3y + z = 1 => 2x -3·$\frac{-3+7t}{11}$ + t = 1 =>
2x + $\frac{9-21t}{11}$ + t = 1 => 2x + $\frac{9-21t + 11t}{11}$ = 1
2x + $\frac{9-10t}{11}$ = 1 => 2x = 1- $\frac{9-10t}{11}$ =>
2x = $\frac{11-9+10t}{11}$ => 2x = $\frac{2+10t}{11}$ =>
x=$\frac{2+10t}{22}$ = $\frac{1+5t}{11}$
Por tanto el conjunto de infinitas soluciones del sistema en función del parámetro t será:
x = $\frac{1+5t}{11}$
y = $\frac{-3+7t}{11}$
z = t
siendo t cualquier número real .
Obtengamos ahora una solución del sistema :
Para t = 2 : x = $\frac{1+5·2}{11}$ = 1 ; y = $\frac{-3+7.2}{11}$=1; z=2
Comprobemos que x= 1, y=1, z=2 es solución del sistema inicial
2x - 3y + z = 1 => 2·1 - 3·1 + 2 = 1
3x + y - 2z = 0 => 3·1 + 1 - 2·2 = 0 Vemos que se cumplen las tres ecuaciones
5x - 2y - z = 1 => 5·1 - 2·1 - 2 = 1
Del mismo modo para cualquier otro valor de t , obtendríamos una solución . Os propongo por ejemplo, que calculéis la solución para t = 0 y la comprobéis en el sistema inicial (aunque tengáis que trabajar con fracciones, el resultado será correcto ;) ) .
Nos vemos en el próximo ejercicio :) . Gracias por visitar mi blog
miércoles, 7 de noviembre de 2012
MÉTODO DE GAUSS I
Vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas usando el método de Gauss. El sistema es el siguiente:
2x + 3y - z = -7
x - 2y + 2z = 11
3x + y - 2z = -5
En primer lugar, para facilitar los cálculos posteriores, vamos a cambiar el orden de la primera y segunda ecuación (para que el coeficiente de x sea 1 en la ecuación que dejamos arriba ):
x - 2y + 2z = 11
3x + y - 2z = -5
Realizamos las siguientes operaciones con las ecuaciones:
(E1)-> (E1) Dejamos la 1ª ecuación igual
(E2)-> -2·(E1)+(E2) Sustituimos 2ª ec. por: -2·(E1)+(E2) (*)
(E3)-> -3·(E1)+(E2) Sustituimos 3ª ec. por: -3·(E1)+(E3)
Hagamos los cálculos:
-2·(E1)+(E2) -3·(E1)+(E3)
-2x+4y-4z=-22 -3x+6y-6z=-33
2x+3y- z= -7 3x+ y-2z= -5
------------- --------------
7y-5z=-29 7y-8z=-38
Después de hacer las sustituciones indicadas en (*):
x - 2y + 2z = 11 (1ª)
7y - 5z= -29 (2ª)
7y - 8z= -38 (3ª)
(1ª)->(1ª)
En el paso siguiente eliminamos y en la 3ª: (2ª)->(2ª)
(3ª)-> -(2ª)+(3ª)
-(2ª) + (3ª)
-7y + 5z= 29
7y - 8z= -38
-------------
-3z= -9
Por tanto el sistema queda de la siguiente forma:
x - 2y + 2z = 11
7y - 5z= -29
-3z= -9
Vemos que el sistema es compatible determinado ( es decir, tiene solución única ).
En entradas posteriores del blog iremos viendo los tipos de sistemas que hay y también veremos cómo se pueden calcular las soluciones cuando el sistema sea compatible indeterminado ( tendrá infinitas soluciones)
Calculemos ahora la solución de nuestro sistema:
Despejamos z en la tercera ecuación:
-3z= -9 => z= $\frac{-9}{-3}$ = 3 => z =3
Sustituimos z en la 2ª ecuación y despejamos la y:
7y - 5z= -29 => 7y -5·3 = -29 => 7y-15=-29 => 7y=-29+15 =>
7y= -14 => y = $\frac{-14}{7}$ = -2=> y = -2
Por último sustituimos los valores de y, z en la 1ª ecuación y despejamos la x: x - 2y + 2z = 11 => x - 2.(-2)+2·3 =11 => x + 4+6 = 11 =>
x + 10 = 11 => x= 11-10 = 1 => x = 1
Por tanto la solución del sistema es: x= 1, y= -2, z= 3
(Observad que hablamos de una única solución y sin embargo damos tres valores (uno para cada incógnita ) , para que os hagáis a la idea es como si de una persona indicáramos su nombre y dos apellidos ;) )
Espero que os haya resultado útil la explicación y si queréis, nos seguiremos viendo por aquí :)
(E2)-> -2·(E1)+(E2) Sustituimos 2ª ec. por: -2·(E1)+(E2) (*)
(E3)-> -3·(E1)+(E2) Sustituimos 3ª ec. por: -3·(E1)+(E3)
Hagamos los cálculos:
-2·(E1)+(E2) -3·(E1)+(E3)
-2x+4y-4z=-22 -3x+6y-6z=-33
2x+3y- z= -7 3x+ y-2z= -5
------------- --------------
7y-5z=-29 7y-8z=-38
Después de hacer las sustituciones indicadas en (*):
x - 2y + 2z = 11 (1ª)
7y - 5z= -29 (2ª)
7y - 8z= -38 (3ª)
(1ª)->(1ª)
En el paso siguiente eliminamos y en la 3ª: (2ª)->(2ª)
(3ª)-> -(2ª)+(3ª)
-(2ª) + (3ª)
-7y + 5z= 29
7y - 8z= -38
-------------
-3z= -9
Por tanto el sistema queda de la siguiente forma:
x - 2y + 2z = 11
7y - 5z= -29
-3z= -9
Vemos que el sistema es compatible determinado ( es decir, tiene solución única ).
En entradas posteriores del blog iremos viendo los tipos de sistemas que hay y también veremos cómo se pueden calcular las soluciones cuando el sistema sea compatible indeterminado ( tendrá infinitas soluciones)
Calculemos ahora la solución de nuestro sistema:
Despejamos z en la tercera ecuación:
-3z= -9 => z= $\frac{-9}{-3}$ = 3 => z =3
Sustituimos z en la 2ª ecuación y despejamos la y:
7y - 5z= -29 => 7y -5·3 = -29 => 7y-15=-29 => 7y=-29+15 =>
7y= -14 => y = $\frac{-14}{7}$ = -2=> y = -2
Por último sustituimos los valores de y, z en la 1ª ecuación y despejamos la x: x - 2y + 2z = 11 => x - 2.(-2)+2·3 =11 => x + 4+6 = 11 =>
x + 10 = 11 => x= 11-10 = 1 => x = 1
Por tanto la solución del sistema es: x= 1, y= -2, z= 3
(Observad que hablamos de una única solución y sin embargo damos tres valores (uno para cada incógnita ) , para que os hagáis a la idea es como si de una persona indicáramos su nombre y dos apellidos ;) )
Espero que os haya resultado útil la explicación y si queréis, nos seguiremos viendo por aquí :)
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