jueves, 22 de noviembre de 2012

MÉTODO DE GAUSS IV


Ejercicio :  Considera el sistema de ecuaciones 

x + y + z = λ+1
3y + 2z = 2λ+3
3x + (λ-1)y + z = λ

(a) Resuelve el sistema para λ = 1.
(b) Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución y obtén una expresión de dicha solución en función del parámetro λ
(c) ¿Existe algún valor de λ para que el sistema admita la solución (-1/2,0,1/2)?


- Antes de empezar el ejercicio, vamos a discutir el sistema según los valores de λ:

Si observamos el sistema, vemos que en la primera ecuación aparecen las tres incógnitas y que el coeficiente de x es igual a 1, es una ecuación que nos viene bien a la hora de buscar simplicidad en la aplicación del método de Gauss.

En la tercera ecuación observamos que el coeficiente de y es (λ - 1) mientras que el de z es 1; en el segundo paso de método de Gauss ( tras eliminar x en la tercera ecuación) nos resultará más cómodo y más sencillo eliminar la z en lugar de la y (así no tendremos que multiplicar por (λ - 1) ). Es por todo esto que nos interesa cambiar el orden de las incógnitas z e y si queremos que nuestro sistema final quede en la forma escalonada a la que estamos habituados , esto es, que queden x, z, y en la primera, z, y en la segunda y z en la tercera

Empecemos entonces por cambiar de orden las incógnitas z e y :


x   +  z  +        y = λ+1
       2z  +      3y = 2λ+3
3x  + z  + (λ-1)y = λ


Para simplificar los cálculos ( y también evitar confusiones al copiar las incógnitas ) , vamos a trabajar el sistema en forma matricial, para ello cogemos la matriz ampliada del sistema:

$ \begin{bmatrix}1&1&1&\lambda +1\\0 & 2 & 3 & 2 \lambda +3\\3 & 1 &  \lambda -1 &  \lambda   \end{bmatrix}  \underline{-3 · ( 1^{a} )+(3^{a})  \rightarrow (3^{a})} \begin{bmatrix}1&1&1&\lambda +1\\0 & 2 & 3 & 2 \lambda +3\\3 & 1 &  \lambda -1 &  \lambda   \end{bmatrix}$

$ \underline{ ( 2^{a} )+(3^{a})  \rightarrow (3^{a})} \begin{bmatrix}1&1&1&\lambda +1\\0 & 2 & 3 & 2 \lambda +3\\0 & 0 &  \lambda -1 & 0  \end{bmatrix} $
-------------------------------------------------------------------------------
Cálculos:

 $\underline{-3 · ( 1^{a} )+(3^{a})  \rightarrow (3^{a})}$                   $ \underline{ ( 2^{a} )+(3^{a})  \rightarrow (3^{a})}$

-3   -3     -3     -3λ-3                              0      2         3        2λ+3            
 3    1     λ-1        λ                                 0     -2     λ-4      - 2λ-3
-------------------------                        ------------------------------
       -2    λ-4    -2λ-3                             0       0      λ-1          0
--------------------------------------------------------------------------------

Por tanto el sistema queda del siguiente modo:

x   +  z  +        y = λ+1
       2z  +      3y = 2λ+3
               (λ-1)y = 0

- Si  λ-1 = 0 => λ = 1 , la tercera ecuación es de la forma 0=0 , el sistema quedaría :

x   +  z  +     y = 1+1     __________     x + z +  y = 2
       2z  +   3y = 2·1+3                                     2z +3y = 5

Observamos : 3 incógnitas > 2 ecuaciones : Sistema compatible indeterminado .

- Si λ $ \neq $ 1 : Sistema compatible determinado 

Una vez hecha la discusión del sistema en función de los valores de λ , pasemos a resolver los apartados (a) , (b ) y (c) del ejercicio:

(a) Resuelve el sistema para λ = 1.

x + z +  y = 2
    2z +3y = 5

Sabemos por la discusión anterior , que el sistema es Compatible Indeterminado , además, el número de parámetros necesarios para la resolución será :

                                          Nª parámetros =    Nº Incógnitas - Nº Ecuaciones = 3 - 2 = 1

Llamamos t al parámetro y  tomamos  z = t: :

x + t +  y = 2
    2t +3y = 5

Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos en la primera para obtener x :

 2t +3y = 5 => 3y = 5 - 2t => y= $ \frac{5 - 2t}{3} $

x = 2 - t - $ \frac{5 - 2t}{3} $ = $ \frac{6-3t-5 + 2t}{3} $ = $ \frac{1 - t}{3} $  => x = $ \frac{1 - t}{3} $

Por tanto el conjunto de soluciones del sistema compatible indeterminado es:

x = $ \frac{1 - t}{3} $ ;   y= $ \frac{5 - 2t}{3} $   z = t      donde t es cualquier número real


(b) Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución y obtén una expresión de dicha solución en función del parámetro λ

x   +  z  +        y = λ+1
       2z  +      3y = 2λ+3
               (λ-1)y = 0

Sabemos que si λ $ \neq $ 1 el sistema es compatible determinado ( es decir, tiene solución única ) . Despejamos las incógnitas igual que haríamos con cualquier sistema de este tipo:

- Despejamos y en la última ecuación:

(λ-1)y = 0 => y = $ \frac{0}{λ-1} $ = 0 => y = 0  (al dividir 0 por cualquier número distinto de cero , el resultado es cero )


- Sustituimos y en la segunda ecuación y despejamos z :

 2z  +      3 · 0 = 2λ+3 => 2z = 2λ+3     => z = $ \frac{2λ+3}{2} $

- Por últimos sustituimos z e y en la primera ecuación y despejamos x :

x   +  z  +  y = λ+1 => x + $ \frac{2λ+3}{2} $ + 0 = λ+1 => x = λ+1 - $ \frac{2λ+3}{2} $ $ \frac{2λ+2 - 2λ - 3}{2} $ = $ \frac{- 1}{2} $
=> x = $ \frac{- 1}{2} $

Por tanto, para cada valor de λ$ \neq $ 1, la solución del sistema es :

x = $ \frac{- 1}{2} $ ; y = 0 ; z = $ \frac{2λ+3}{2} $


Comentario: es importante tener claro que el significado del parámetro λ  y el del parámetro t no es el mismo: mientras que para cada valor de  λ tenemos un sistema de ecuaciones distinto ( y si λ$ \neq $ 1, tendrá una solución única determinada por las expresiones anteriores ) , el parámetro t (que usamos en el caso concreto λ = 1 ) nos proporcionará las soluciones del sistema compatible indeterminado al ir dándole a t valores dentro del conjunto de los números reales .

(c) ¿Existe algún valor de λ para que el sistema admita la solución (-1/2,0,1/2)?

Ahora nos preguntan si hay un sistema de ecuaciones concreto que tenga esa solución. La forma más sencilla de responder a la pregunta es irnos a la expresión general del sistema de ecuaciones escalonado , sustituir estos valores y comprobar si el valor de  λ que se obtiene es el mismo en las tres ecuaciones:

x   +  z  +        y = λ+1     =>  $\frac{- 1}{2}$ +$ \frac{1}{2}$ + 0 = λ+1 => 0 = λ+1 => λ = - 1
       2z  +      3y = 2λ+3  => 2 · $\frac{1}{2}$ + 3 · 0 = 2λ+3 => 1 = 2λ+3 => 2λ= -2 => λ = - 1
               (λ-1)y = 0       => Si  λ = - 1, se cumple la ecuación

Por tanto, si λ = - 1 el sistema admite la solución (-1/2,0,1/2)

Observación final:  sabemos por la discusión en función de λ que si  λ $ \neq $ 1 el sistema es compatible determinado, por tanto para λ = - 1 el sistema es compatible determinado y su solución única es (-1/2,0,1/2)

Espero que el ejercicio os sea útil . Gracias por seguir mi blog :)








viernes, 16 de noviembre de 2012

MÉTODO DE GAUSS III

Resolvamos ahora el siguiente ejercicio:

Considera el sistema de ecuaciones 

       2x − 2y + 4z =   4 
       2x         +  z  =   a 
     −3x − 3y + 3z = −3

(a)  Discútelo según los valores del parámetro a. 
(b)  Resuélvelo cuando sea posible.

Observamos que podríamos dividir la primera ecuación por 2 y la tercera ecuación por 3 y obtendríamos un sistema equivalente (tendría las mismas soluciones) y con números más pequeños y por tanto más cómodos a la hora de hacer cálculos.

También vemos que en la segunda ecuación no aparece la incógnita y , si cambiáramos por ejemplo la 2ª por la 3ª ecuación, ya tendríamos eliminada la y , y eso simplificaría cálculos también .

Pero supongamos que no nos hemos dado cuenta de las puntualizaciones anteriores y empecemos a aplicar el método de Gauss tal y como lo hemos hecho en los posts anteriores

(a)  Discútelo según los valores del parámetro a. 

- Eliminamos x en la segunda y tercera ecuación :

  2x − 2y + 4z =   4    $( E_{1})  \rightarrow ( E_{1} )$
  2x         +    z  =  a    $( E_{2})  \rightarrow ( E_{1}) - ( E_{2} )$              (*)
−3x − 3y + 3z = −3    $( E_{3})  \rightarrow3· ( E_{1}) +2·( E_{3} )$


$( E_{1}) - ( E_{2} ) $                                              $ 3· ( E_{1}) +2·( E_{3} )$

 2x − 2y + 4z =    4                                      6x - 6y +12z = 12
-2x         -  z  =  -a                                      -6x - 6y +  6z = -6
-----------------------                                    -----------------------
     - 2y + 3z = 4 - a                                         -12y + 18z = 6

Tras sustituir en (*) el sistema queda:

2x − 2y + 4z =   4         (1ª)
     - 2y + 3z = 4 - a      (2ª)
    -12y + 18z = 6         (3ª)

Eliminamos y en la tercera ecuación: sustituimos (3ª) por : -6 · (2ª) + ( 3ª)

 -6 · (2ª) + ( 3ª)

  12y  - 18z = -6. (4 - a)
 -12y + 18z = 6
---------------------------
            0 = -6 · (4- a) + 6         // Cálculos:  -6 · (4- a) + 6 = -24 + 6a + 6 = - 18 + 6a 

El sistema queda de la siguiente forma:


2x − 2y + 4z =   4         
     - 2y + 3z =  4 - a     
                0 = -18 + 6a  

Casos  posibles: 

1ª) -18 + 6a = 0 => 6a = 18 => a = $ \frac{18}{6} $ = 3 => a = 3

Veamos cómo queda el sistema si a = 3:


2x − 2y + 4z =   4                                  2x − 2y + 4z =  4         Sistema Compatible
     - 2y + 3z =  4 - 3                     =>          - 2y + 3z =  1            Indeterminado 
                0 = -18 + 6· 3                                        0 =  0

Como en el apartado a) del ejercicio sólo nos piden la discusión, en principio dejamos este caso tal y como está ( en el apartado b) volveremos a este sistema para resolverlo )

2) a $ \neq$3 . En este caso, la tercera ecuación quedará de la forma 0 igual a un número distinto de cero ( por ejemplo : si a = 0 , nos quedará 0 = -18 y eso es imposible ) , y por tanto, el sistema no tendrá solución, diremos entonces que el Sistema es Incompatible , luego:

si a $ \neq$3 el Sistema es Incompatible 

(b)  Resuélvelo cuando sea posible.

El único caso en que el sistema tiene solución es cuando a = 3 (infinitas soluciones ).


2x − 2y + 4z =  4                         
     - 2y + 3z =  1   


Calculamos las soluciones en función de un parámetro t ,  tomamos z = t  y ,despejamos y en la (3ª):
                       
  - 2y + 3z =  1   => -2y = 1 - 3z => y =  $ \frac{1-3z}{-2} $$ \frac{-1+3z}{2} $ => y = $ \frac{- 1 + 3t}{2} $

Sustituimos z e y en la primera y despejamos x:

2x − 2y + 4z =  4 => 2x -2 · $ \frac{- 1 + 3t}{2} $ + 4t = 4 => 2x - ( - 1 + 3t ) + 4t = 4 => 2x + 1 - 3t + 4t = 4 => 2x + 1 + t = 4 => 2x = 4 - 1 - t => x = $ \frac{3 - t}{2} $


Conjunto de soluciones : x = $ \frac{3 - t}{2} $

                                       y = $ \frac{- 1 + 3t}{2} $      donde t es cualquier número real

                                       z = t

El ejercicio aquí ya habría terminado, de todas formas es aconsejable (aunque no nos lo piden ) comprobar que dando valores a t obtenemos soluciones del sistema . Así, por ejemplo:

Para t = - 1 : x = $ \frac{3 - (- 1)}{2} $ =$ \frac{3 +1}{2} $ = 2 =>  x = 2;

                   y = $ \frac{- 1 + 3· (-1)}{2} $$ \frac{- 1 - 3}{2} $ = -2 => y = - 2

                   z = t = - 1 => z = - 1

sustituimos x= 2, y = -2, z = -1 en el sistema:


2x − 2y + 4z =  4   => 2· 2 - 2 · (-2) + 4 ·(- 1) = 4      => 4 + 4 - 4 = 4              
     - 2y + 3z =  1  =>        -2 · ( -2)  + 3 ·( - 1)  = 1    =>  4 - 3 = 1

Vemos que efectivamente se cumplen las igualdades . Del mismo modo se podrían obtener más soluciones del sistema (os propongo que lo hagáis vosotros y comprobéis que se cumple el sistema ;) )

Espero que el ejercicio os haya aclarado dudas y os sirva . Gracias por visitar mi blog.
Hasta pronto ;)

viernes, 9 de noviembre de 2012

MÉTODO DE GAUSS II

Vamos a aplicar ahora el método de Gauss para resolver el siguiente sistema:

2x  - 3y +   z = 1   (E1)
3x +   y  - 2z = 0   (E2)
5x  - 2y  -   z = 1   (E3)

Como en este caso, el coeficiente de x en las tres ecuaciones es distinto de 1, las dejamos tal y como están (podría obtenerse un 1 en la primera ecuación dividiendo por 2,  pero eso nos complicaría los cálculos, y en realidad lo que nos interesa es que sea distinto de cero. La idea es tener en la primera ecuación las tres incógnitas con coeficientes distintos de cero . Ya veremos en otra entrada del blog qué podemos hacer cuando no haya ninguna ecuación con las tres incógnitas ) .

Eliminemos la x en la 2ª y 3ª ecuación :


(E1)-> (E1)         Dejamos la 1ª ecuación igual                
(E2)-> -3·(E1)+2(E2) Sustituimos  2ª ec. por: -3·(E1)+2(E2) (*)
(E3)-> -5·(E1)+2(E3) Sustituimos  3ª ec. por: -5·(E1)+2(E3)

Hagamos los cálculos: 

 -3·(E1)+2·(E2)                      -5·(E1)+2·(E3)

-6x+9y-3z=-3                       -10x+15y-5z=-5
 6x+2y-4z= 0                        10x -4y-2z= 2
-------------                        --------------
   11y-7z=-3                            11y-7z=-3

Después de hacer las sustituciones indicadas en (*):

2x  - 3y +   z  = 1  (1ª)
  11y- 7z=-3 (2ª) 
  11y- 7z=-3 (3ª)
                                            (1ª)->(1ª)
En el paso siguiente eliminamos y en la 3ª: (2ª)->(2ª)
                                            (3ª)-> -(2ª)+(3ª)

-(2ª) + (3ª)

-11y+ 7z= 3
 11y- 7z=-3
-------------
      0 = 0 

Por tanto el sistema queda de la siguiente forma: 

2x  - 3y +   z = 1  
      11y - 7z = -3  
             0 = 0 

El que la 3ª ecuación quede 0=0 en realidad lo que nos dice es que podemos obtenerla a partir de las otras dos ( si os fijáis, es la suma de la 1ª y la 2ª que teníamos al principio ) y por tanto podemos descartarla. Nos quedamos entonces con las otras dos ecuaciones:

2x  - 3y  +   z  = 1  
  11y - 7z =-3  


LLegados a este punto, vemos que nuestro sistema tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas . Como el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones , el sistema tendrá infinitas soluciones, será lo que se llama un Sistema Compatible Indeterminado.

Veamos ahora cómo podemos obtener una expresión para las soluciones del sistema en función de un parámetro ( un parámetro será una letra que podrá tomar cualquier valor ) . Llamemos t a nuestro parámetro .

Tomamos z = t y despejamos y en la 2ª ecuación:

11y - 7z = -3 => 11y = -3 + 7z => y = $\frac{-3+7z}{11}$ y como z = t
nos queda: y = $\frac{-3+7t}{11}$

Sustituyamos ahora los valores de z e y en la 1ª ecuación y despejemos x:

2x  - 3y  +    z  = 1  => 2x -3·$\frac{-3+7t}{11}$ + t = 1 =>

2x + $\frac{9-21t}{11}$ + t = 1 => 2x + $\frac{9-21t + 11t}{11}$ = 1

2x + $\frac{9-10t}{11}$ = 1  => 2x = 1- $\frac{9-10t}{11}$ =>

2x = $\frac{11-9+10t}{11}$ => 2x = $\frac{2+10t}{11}$ =>

x=$\frac{2+10t}{22}$ = $\frac{1+5t}{11}$

Por tanto el conjunto de infinitas soluciones del sistema en función del parámetro t será:

x = $\frac{1+5t}{11}$
y = $\frac{-3+7t}{11}$
z = t

siendo t cualquier número real .

Obtengamos ahora una solución del sistema :

Para t = 2 : x =  $\frac{1+5·2}{11}$ = 1 ; y = $\frac{-3+7.2}{11}$=1; z=2

Comprobemos que x= 1, y=1, z=2 es solución del sistema inicial


2x  - 3y +   z = 1   => 2·1 - 3·1 + 2 = 1
3x +   y  - 2z = 0   => 3·1 + 1 - 2·2 = 0         Vemos que se cumplen las tres ecuaciones        
5x  - 2y  -   z = 1 => 5·1 - 2·1 - 2 = 1


Del mismo modo para cualquier otro valor de t , obtendríamos una solución . Os propongo por ejemplo, que calculéis  la solución para t = 0 y la comprobéis en el sistema inicial (aunque tengáis que trabajar con fracciones, el resultado será correcto ;) ) .

 Nos vemos en el próximo ejercicio :) . Gracias por visitar mi blog

miércoles, 7 de noviembre de 2012

MÉTODO DE GAUSS I


Vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas usando el método de Gauss. El sistema es el siguiente: 

2x + 3y -  z = -7
 x - 2y + 2z = 11
3x +  y - 2z = -5

En primer lugar, para facilitar los cálculos posteriores, vamos a cambiar el orden de la primera y segunda ecuación (para que el coeficiente de x sea 1 en la ecuación que dejamos arriba ):

 x - 2y + 2z = 11   
2x + 3y -  z = -7   
3x +  y - 2z = -5   


Realizamos las siguientes operaciones con las ecuaciones: 

(E1)-> (E1)         Dejamos la 1ª ecuación igual                
(E2)-> -2·(E1)+(E2) Sustituimos  2ª ec. por: -2·(E1)+(E2) (*)
(E3)-> -3·(E1)+(E2) Sustituimos  3ª ec. por: -3·(E1)+(E3)

Hagamos los cálculos: 

 -2·(E1)+(E2)                        -3·(E1)+(E3)

-2x+4y-4z=-22                        -3x+6y-6z=-33
 2x+3y- z= -7                         3x+ y-2z= -5
-------------                        --------------
    7y-5z=-29                            7y-8z=-38

Después de hacer las sustituciones indicadas en (*):

x - 2y + 2z = 11 (1ª)
    7y - 5z= -29 (2ª) 
    7y - 8z= -38 (3ª)
                                            (1ª)->(1ª)
En el paso siguiente eliminamos y en la 3ª: (2ª)->(2ª)
                                            (3ª)-> -(2ª)+(3ª)

-(2ª) + (3ª)

-7y + 5z=  29
 7y - 8z= -38
-------------
     -3z=  -9 

Por tanto el sistema queda de la siguiente forma: 


x - 2y + 2z = 11 
    7y - 5z= -29
         -3z= -9 


Vemos que el sistema es compatible determinado ( es decir, tiene solución única ). 

En entradas posteriores del blog iremos viendo los tipos de sistemas que hay y también  veremos cómo se pueden calcular las soluciones cuando el sistema sea compatible indeterminado ( tendrá infinitas soluciones) 

Calculemos ahora la solución de nuestro sistema: 

Despejamos z en la tercera ecuación: 

 -3z= -9 => z=  $\frac{-9}{-3}$ = 3 => z =3 

Sustituimos z en la 2ª ecuación y despejamos la y:

7y - 5z= -29 => 7y -5·3 = -29 => 7y-15=-29 => 7y=-29+15 =>  
7y= -14 => y = $\frac{-14}{7}$ = -2=> y = -2

Por último sustituimos los valores de y, z en la 1ª ecuación y despejamos la x:
x - 2y + 2z = 11 => x - 2.(-2)+2·3 =11 => x + 4+6 = 11 => 
x + 10 = 11 => x= 11-10 = 1 => x = 1

Por tanto la solución del sistema es: x= 1, y= -2, z= 3 


(Observad que hablamos de una única solución y sin embargo damos tres valores (uno para cada incógnita ) , para que os hagáis a la idea es como si de una persona indicáramos su nombre y dos apellidos ;) )

Espero que os haya resultado útil la explicación y si queréis, nos seguiremos viendo por aquí :)

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