MÉTODO DE GAUSS IV

Ejercicio :  Considera el sistema de ecuaciones 

x + y + z = λ+1
3y + 2z = 2λ+3
3x + (λ-1)y + z = λ

(a) Resuelve el sistema para λ = 1.
(b) Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución y obtén una expresión de dicha solución en función del parámetro λ
(c) ¿Existe algún valor de λ para que el sistema admita la solución (-1/2,0,1/2)?


- Antes de empezar el ejercicio, vamos a discutir el sistema según los valores de λ:

Si observamos el sistema, vemos que en la primera ecuación aparecen las tres incógnitas y que el coeficiente de x es igual a 1, es una ecuación que nos viene bien a la hora de buscar simplicidad en la aplicación del método de Gauss.

En la tercera ecuación observamos que el coeficiente de y es (λ - 1) mientras que el de z es 1; en el segundo paso de método de Gauss ( tras eliminar x en la tercera ecuación) nos resultará más cómodo y más sencillo eliminar la z en lugar de la y (así no tendremos que multiplicar por (λ - 1) ). Es por todo esto que nos interesa cambiar el orden de las incógnitas z e y si queremos que nuestro sistema final quede en la forma escalonada a la que estamos habituados , esto es, que queden x, z, y en la primera, z, y en la segunda y z en la tercera

Empecemos entonces por cambiar de orden las incógnitas z e y :


x   +  z  +        y = λ+1
       2z  +      3y = 2λ+3
3x  + z  + (λ-1)y = λ


Para simplificar los cálculos ( y también evitar confusiones al copiar las incógnitas ) , vamos a trabajar el sistema en forma matricial, para ello cogemos la matriz ampliada del sistema:

$ \begin{bmatrix}1&1&1&\lambda +1\\0 & 2 & 3 & 2 \lambda +3\\3 & 1 &  \lambda -1 &  \lambda   \end{bmatrix}  \underline{-3 · ( 1^{a} )+(3^{a})  \rightarrow (3^{a})} \begin{bmatrix}1&1&1&\lambda +1\\0 & 2 & 3 & 2 \lambda +3\\3 & 1 &  \lambda -1 &  \lambda   \end{bmatrix}$

$ \underline{ ( 2^{a} )+(3^{a})  \rightarrow (3^{a})} \begin{bmatrix}1&1&1&\lambda +1\\0 & 2 & 3 & 2 \lambda +3\\0 & 0 &  \lambda -1 & 0  \end{bmatrix} $
-------------------------------------------------------------------------------
Cálculos:

 $\underline{-3 · ( 1^{a} )+(3^{a})  \rightarrow (3^{a})}$                   $ \underline{ ( 2^{a} )+(3^{a})  \rightarrow (3^{a})}$

-3   -3     -3     -3λ-3                              0      2         3        2λ+3            
 3    1     λ-1        λ                                 0     -2     λ-4      - 2λ-3
-------------------------                        ------------------------------
       -2    λ-4    -2λ-3                             0       0      λ-1          0
--------------------------------------------------------------------------------

Por tanto el sistema queda del siguiente modo:

x   +  z  +        y = λ+1
       2z  +      3y = 2λ+3
               (λ-1)y = 0

- Si  λ-1 = 0 => λ = 1 , la tercera ecuación es de la forma 0=0 , el sistema quedaría :

x   +  z  +     y = 1+1     __________     x + z +  y = 2
       2z  +   3y = 2·1+3                                     2z +3y = 5

Observamos : 3 incógnitas > 2 ecuaciones : Sistema compatible indeterminado .

- Si λ $ \neq $ 1 : Sistema compatible determinado 

Una vez hecha la discusión del sistema en función de los valores de λ , pasemos a resolver los apartados (a) , (b ) y (c) del ejercicio:

(a) Resuelve el sistema para λ = 1.

x + z +  y = 2
    2z +3y = 5

Sabemos por la discusión anterior , que el sistema es Compatible Indeterminado , además, el número de parámetros necesarios para la resolución será :

                                          Nª parámetros =    Nº Incógnitas - Nº Ecuaciones = 3 - 2 = 1

Llamamos t al parámetro y  tomamos  z = t: :

x + t +  y = 2
    2t +3y = 5

Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos en la primera para obtener x :

 2t +3y = 5 => 3y = 5 - 2t => y= $ \frac{5 - 2t}{3} $

x = 2 - t - $ \frac{5 - 2t}{3} $ = $ \frac{6-3t-5 + 2t}{3} $ = $ \frac{1 - t}{3} $  => x = $ \frac{1 - t}{3} $

Por tanto el conjunto de soluciones del sistema compatible indeterminado es:

x = $ \frac{1 - t}{3} $ ;   y= $ \frac{5 - 2t}{3} $ ;    z = t      donde t es cualquier número real


(b) Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución y obtén una expresión de dicha solución en función del parámetro λ

x   +  z  +        y = λ+1
       2z  +      3y = 2λ+3
               (λ-1)y = 0

Sabemos que si λ $ \neq $ 1 el sistema es compatible determinado ( es decir, tiene solución única ) . Despejamos las incógnitas igual que haríamos con cualquier sistema de este tipo:

- Despejamos y en la última ecuación:

(λ-1)y = 0 => y = $ \frac{0}{λ-1} $ = 0 => y = 0  (al dividir 0 por cualquier número distinto de cero , el resultado es cero )


- Sustituimos y en la segunda ecuación y despejamos z :

 2z  +      3 · 0 = 2λ+3 => 2z = 2λ+3     => z = $ \frac{2λ+3}{2} $

- Por últimos sustituimos z e y en la primera ecuación y despejamos x :

x   +  z  +  y = λ+1 => x + $ \frac{2λ+3}{2} $ + 0 = λ+1 => x = λ+1 - $ \frac{2λ+3}{2} $ = $ \frac{2λ+2 - 2λ - 3}{2} $ = $ \frac{- 1}{2} $
=> x = $ \frac{- 1}{2} $

Por tanto, para cada valor de λ$ \neq $ 1, la solución del sistema es :

x = $ \frac{- 1}{2} $ ; y = 0 ; z = $ \frac{2λ+3}{2} $


Comentario: es importante tener claro que el significado del parámetro λ  y el del parámetro t no es el mismo: mientras que para cada valor de  λ tenemos un sistema de ecuaciones distinto ( y si λ$ \neq $ 1, tendrá una solución única determinada por las expresiones anteriores ) , el parámetro t (que usamos en el caso concreto λ = 1 ) nos proporcionará las soluciones del sistema compatible indeterminado al ir dándole a t valores dentro del conjunto de los números reales .

(c) ¿Existe algún valor de λ para que el sistema admita la solución (-1/2,0,1/2)?

Ahora nos preguntan si hay un sistema de ecuaciones concreto que tenga esa solución. La forma más sencilla de responder a la pregunta es irnos a la expresión general del sistema de ecuaciones escalonado , sustituir estos valores y comprobar si el valor de  λ que se obtiene es el mismo en las tres ecuaciones:

x   +  z  +        y = λ+1     =>  $\frac{- 1}{2}$ +$ \frac{1}{2}$ + 0 = λ+1 => 0 = λ+1 => λ = - 1
       2z  +      3y = 2λ+3  => 2 · $\frac{1}{2}$ + 3 · 0 = 2λ+3 => 1 = 2λ+3 => 2λ= -2 => λ = - 1
               (λ-1)y = 0       => Si  λ = - 1, se cumple la ecuación

Por tanto, si λ = - 1 el sistema admite la solución (-1/2,0,1/2)

Observación final:  sabemos por la discusión en función de λ que si  λ $ \neq $ 1 el sistema es compatible determinado, por tanto para λ = - 1 el sistema es compatible determinado y su solución única es (-1/2,0,1/2)

Espero que el ejercicio os sea útil . Gracias por seguir mi blog :)