MÉTODO DE GAUSS I

Vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas usando el método de Gauss. El sistema es el siguiente: 

2x + 3y -  z = -7

 x - 2y + 2z = 11

3x +  y - 2z = -5

En primer lugar, para facilitar los cálculos posteriores, vamos a cambiar el orden de la primera y segunda ecuación (para que el coeficiente de x sea 1 en la ecuación que dejamos arriba ):

 x - 2y + 2z = 11   

2x + 3y -  z = -7   
3x +  y - 2z = -5   


Realizamos las siguientes operaciones con las ecuaciones: 

(E1)-> (E1)         Dejamos la 1ª ecuación igual                
(E2)-> -2·(E1)+(E2) Sustituimos  2ª ec. por: -2·(E1)+(E2) (*)
(E3)-> -3·(E1)+(E2) Sustituimos  3ª ec. por: -3·(E1)+(E3)

Hagamos los cálculos: 

 -2·(E1)+(E2)                        -3·(E1)+(E3)

-2x+4y-4z=-22                        -3x+6y-6z=-33
 2x+3y- z= -7                         3x+ y-2z= -5
-------------                        --------------
    7y-5z=-29                            7y-8z=-38

Después de hacer las sustituciones indicadas en (*):

x - 2y + 2z = 11 (1ª)
    7y - 5z= -29 (2ª) 
    7y - 8z= -38 (3ª)
                                            (1ª)->(1ª)
En el paso siguiente eliminamos y en la 3ª: (2ª)->(2ª)
                                            (3ª)-> -(2ª)+(3ª)

-(2ª) + (3ª)

-7y + 5z=  29
 7y - 8z= -38
-------------
     -3z=  -9 

Por tanto el sistema queda de la siguiente forma: 


x - 2y + 2z = 11 
    7y - 5z= -29
         -3z= -9 


Vemos que el sistema es compatible determinado ( es decir, tiene solución única ). 

En entradas posteriores del blog iremos viendo los tipos de sistemas que hay y también  veremos cómo se pueden calcular las soluciones cuando el sistema sea compatible indeterminado ( tendrá infinitas soluciones) 

Calculemos ahora la solución de nuestro sistema: 

Despejamos z en la tercera ecuación: 

 -3z= -9 => z=  $\frac{-9}{-3}$ = 3 => z =3 

Sustituimos z en la 2ª ecuación y despejamos la y:

7y - 5z= -29 => 7y -5·3 = -29 => 7y-15=-29 => 7y=-29+15 =>  
7y= -14 => y = $\frac{-14}{7}$ = -2=> y = -2

Por último sustituimos los valores de y, z en la 1ª ecuación y despejamos la x: x - 2y + 2z = 11 => x - 2.(-2)+2·3 =11 => x + 4+6 = 11 => 
x + 10 = 11 => x= 11-10 = 1 => x = 1

Por tanto la solución del sistema es: x= 1, y= -2, z= 3 

(Observad que hablamos de una única solución y sin embargo damos tres valores (uno para cada incógnita ) , para que os hagáis a la idea es como si de una persona indicáramos su nombre y dos apellidos ;) )

Espero que os haya resultado útil la explicación y si queréis, nos seguiremos viendo por aquí :)