Resolvamos ahora el siguiente ejercicio:
Considera el sistema de ecuaciones
2x − 2y + 4z = 4
2x + z = a
−3x − 3y + 3z = −3
(a) Discútelo según los valores del parámetro a.
(b) Resuélvelo cuando sea posible.
Observamos que podríamos dividir la primera ecuación por 2 y la tercera ecuación por 3 y obtendríamos un sistema equivalente (tendría las mismas soluciones) y con números más pequeños y por tanto más cómodos a la hora de hacer cálculos.
También vemos que en la segunda ecuación no aparece la incógnita y , si cambiáramos por ejemplo la 2ª por la 3ª ecuación, ya tendríamos eliminada la y , y eso simplificaría cálculos también .
Pero supongamos que no nos hemos dado cuenta de las puntualizaciones anteriores y empecemos a aplicar el método de Gauss tal y como lo hemos hecho en los posts anteriores
(a) Discútelo según los valores del parámetro a.
- Eliminamos x en la segunda y tercera ecuación :
2x − 2y + 4z = 4 $( E_{1}) \rightarrow ( E_{1} )$
2x + z = a $( E_{2}) \rightarrow ( E_{1}) - ( E_{2} )$ (*)
−3x − 3y + 3z = −3 $( E_{3}) \rightarrow3· ( E_{1}) +2·( E_{3} )$
$( E_{1}) - ( E_{2} ) $ $ 3· ( E_{1}) +2·( E_{3} )$
2x − 2y + 4z = 4 6x - 6y +12z = 12
-2x - z = -a -6x - 6y + 6z = -6
----------------------- -----------------------
- 2y + 3z = 4 - a -12y + 18z = 6
Tras sustituir en (*) el sistema queda:
2x − 2y + 4z = 4 (1ª)
- 2y + 3z = 4 - a (2ª)
-12y + 18z = 6 (3ª)
Eliminamos y en la tercera ecuación: sustituimos (3ª) por : -6 · (2ª) + ( 3ª)
-6 · (2ª) + ( 3ª)
12y - 18z = -6. (4 - a)
-12y + 18z = 6
---------------------------
0 = -6 · (4- a) + 6 // Cálculos: -6 · (4- a) + 6 = -24 + 6a + 6 = - 18 + 6a
El sistema queda de la siguiente forma:
2x − 2y + 4z = 4
- 2y + 3z = 4 - a
0 = -18 + 6a
Casos posibles:
1ª) -18 + 6a = 0 => 6a = 18 => a = $ \frac{18}{6} $ = 3 => a = 3
Veamos cómo queda el sistema si a = 3:
2x − 2y + 4z = 4 2x − 2y + 4z = 4 Sistema Compatible
- 2y + 3z = 4 - 3 => - 2y + 3z = 1 Indeterminado
0 = -18 + 6· 3 0 = 0
Como en el apartado a) del ejercicio sólo nos piden la discusión, en principio dejamos este caso tal y como está ( en el apartado b) volveremos a este sistema para resolverlo )
2) a $ \neq$3 . En este caso, la tercera ecuación quedará de la forma 0 igual a un número distinto de cero ( por ejemplo : si a = 0 , nos quedará 0 = -18 y eso es imposible ) , y por tanto, el sistema no tendrá solución, diremos entonces que el Sistema es Incompatible , luego:
si a $ \neq$3 el Sistema es Incompatible
(b) Resuélvelo cuando sea posible.
El único caso en que el sistema tiene solución es cuando a = 3 (infinitas soluciones ).
2x − 2y + 4z = 4
- 2y + 3z = 1
Calculamos las soluciones en función de un parámetro t , tomamos z = t y ,despejamos y en la (3ª):
- 2y + 3z = 1 => -2y = 1 - 3z => y = $ \frac{1-3z}{-2} $ = $ \frac{-1+3z}{2} $ => y = $ \frac{- 1 + 3t}{2} $
Sustituimos z e y en la primera y despejamos x:
2x − 2y + 4z = 4 => 2x -2 · $ \frac{- 1 + 3t}{2} $ + 4t = 4 => 2x - ( - 1 + 3t ) + 4t = 4 => 2x + 1 - 3t + 4t = 4 => 2x + 1 + t = 4 => 2x = 4 - 1 - t => x = $ \frac{3 - t}{2} $
Conjunto de soluciones : x = $ \frac{3 - t}{2} $
y = $ \frac{- 1 + 3t}{2} $ donde t es cualquier número real
z = t
El ejercicio aquí ya habría terminado, de todas formas es aconsejable (aunque no nos lo piden ) comprobar que dando valores a t obtenemos soluciones del sistema . Así, por ejemplo:
Para t = - 1 : x = $ \frac{3 - (- 1)}{2} $ =$ \frac{3 +1}{2} $ = 2 => x = 2;
y = $ \frac{- 1 + 3· (-1)}{2} $ = $ \frac{- 1 - 3}{2} $ = -2 => y = - 2
z = t = - 1 => z = - 1
sustituimos x= 2, y = -2, z = -1 en el sistema:
2x − 2y + 4z = 4 => 2· 2 - 2 · (-2) + 4 ·(- 1) = 4 => 4 + 4 - 4 = 4
- 2y + 3z = 1 => -2 · ( -2) + 3 ·( - 1) = 1 => 4 - 3 = 1
Vemos que efectivamente se cumplen las igualdades . Del mismo modo se podrían obtener más soluciones del sistema (os propongo que lo hagáis vosotros y comprobéis que se cumple el sistema ;) )
Espero que el ejercicio os haya aclarado dudas y os sirva . Gracias por visitar mi blog.
Hasta pronto ;)
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