2x - 3y + z = 1 (E1)
3x + y - 2z = 0 (E2)
5x - 2y - z = 1 (E3)
Como en este caso, el coeficiente de x en las tres ecuaciones es distinto de 1, las dejamos tal y como están (podría obtenerse un 1 en la primera ecuación dividiendo por 2, pero eso nos complicaría los cálculos, y en realidad lo que nos interesa es que sea distinto de cero. La idea es tener en la primera ecuación las tres incógnitas con coeficientes distintos de cero . Ya veremos en otra entrada del blog qué podemos hacer cuando no haya ninguna ecuación con las tres incógnitas ) .
(E1)-> (E1) Dejamos la 1ª ecuación igual
(E2)-> -3·(E1)+2(E2) Sustituimos 2ª ec. por: -3·(E1)+2(E2) (*)
(E3)-> -5·(E1)+2(E3) Sustituimos 3ª ec. por: -5·(E1)+2(E3)
Hagamos los cálculos:
-3·(E1)+2·(E2) -5·(E1)+2·(E3)
-6x+9y-3z=-3 -10x+15y-5z=-5
6x+2y-4z= 0 10x -4y-2z= 2
------------- --------------
11y-7z=-3 11y-7z=-3
Después de hacer las sustituciones indicadas en (*):
2x - 3y + z = 1 (1ª)
11y- 7z=-3 (2ª)
11y- 7z=-3 (3ª)
(1ª)->(1ª)
En el paso siguiente eliminamos y en la 3ª: (2ª)->(2ª)
(3ª)-> -(2ª)+(3ª)
-(2ª) + (3ª)
-11y+ 7z= 3
11y- 7z=-3
-------------
0 = 0
Por tanto el sistema queda de la siguiente forma:
11y - 7z = -3
0 = 0
El que la 3ª ecuación quede 0=0 en realidad lo que nos dice es que podemos obtenerla a partir de las otras dos ( si os fijáis, es la suma de la 1ª y la 2ª que teníamos al principio ) y por tanto podemos descartarla. Nos quedamos entonces con las otras dos ecuaciones:
2x - 3y + z = 1
11y - 7z =-3 LLegados a este punto, vemos que nuestro sistema tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas . Como el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones , el sistema tendrá infinitas soluciones, será lo que se llama un Sistema Compatible Indeterminado.
Veamos ahora cómo podemos obtener una expresión para las soluciones del sistema en función de un parámetro ( un parámetro será una letra que podrá tomar cualquier valor ) . Llamemos t a nuestro parámetro .
Tomamos z = t y despejamos y en la 2ª ecuación:
11y - 7z = -3 => 11y = -3 + 7z => y = $\frac{-3+7z}{11}$ y como z = t
nos queda: y = $\frac{-3+7t}{11}$
Sustituyamos ahora los valores de z e y en la 1ª ecuación y despejemos x:
2x - 3y + z = 1 => 2x -3·$\frac{-3+7t}{11}$ + t = 1 =>
2x + $\frac{9-21t}{11}$ + t = 1 => 2x + $\frac{9-21t + 11t}{11}$ = 1
2x + $\frac{9-10t}{11}$ = 1 => 2x = 1- $\frac{9-10t}{11}$ =>
2x = $\frac{11-9+10t}{11}$ => 2x = $\frac{2+10t}{11}$ =>
x=$\frac{2+10t}{22}$ = $\frac{1+5t}{11}$
Por tanto el conjunto de infinitas soluciones del sistema en función del parámetro t será:
x = $\frac{1+5t}{11}$
y = $\frac{-3+7t}{11}$
z = t
siendo t cualquier número real .
Obtengamos ahora una solución del sistema :
Para t = 2 : x = $\frac{1+5·2}{11}$ = 1 ; y = $\frac{-3+7.2}{11}$=1; z=2
Comprobemos que x= 1, y=1, z=2 es solución del sistema inicial
2x - 3y + z = 1 => 2·1 - 3·1 + 2 = 1
3x + y - 2z = 0 => 3·1 + 1 - 2·2 = 0 Vemos que se cumplen las tres ecuaciones
5x - 2y - z = 1 => 5·1 - 2·1 - 2 = 1
Del mismo modo para cualquier otro valor de t , obtendríamos una solución . Os propongo por ejemplo, que calculéis la solución para t = 0 y la comprobéis en el sistema inicial (aunque tengáis que trabajar con fracciones, el resultado será correcto ;) ) .
Nos vemos en el próximo ejercicio :) . Gracias por visitar mi blog
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