Geometría en el Espacio I

Dados los puntos A = (1,0,1), B=(0,0,-1) y C=(3, m , n ), se pide:

(a) Determina, si es posible, m y n de forma que los tres puntos estén alineados.

(b) Encuentra, si existe, un punto Q situado en el eje OY y tal que el triángulo ABQ sea un triángulo rectángulo con ángulo recto en B.

(c) Si D es el punto D=(2,0,-2), prueba que el triángulo ABD es rectángulo y calcula su área
(a) Tres puntos están alineados cuando al formar dos vectores usando los tres puntos , dichos vectores sean paralelos ( o lo que es lo mismo, sean proporcionales )

Calculamos los vectores $\ \vec{AB}   y   \vec{AC} $ :

$\ \vec{AB}$ = (0-1, 0-0, -1 - 1) = (- 1, 0, - 2)           $\ \vec{AC}$ = (3 - 1, m - 0, n - 1) = (2, m, n-1) 

Para que $\ \vec{AB} $ sea paralelo a $\ \vec{AC}$ :

$ \frac{-1}{2}=\frac{0}{m}=\frac{-2}{n-1} $    de donde:

$ \frac{-1}{2}=\frac{0}{m} \Rightarrow m · (-1) = 2 · 0 \Rightarrow - m = 0 \Rightarrow m = 0 $

$ \frac{-1}{2}=\frac{-2}{n-1} \Rightarrow (n-1) · ( -1) = 2 · (-2) \Rightarrow -n + 1 = -4 \Rightarrow n = 5 $

Por tanto, para que los tres puntos estén alineados : m = 0 y n = 5

(b) El eje OY tiene ecuación: $ \left\{\begin{matrix} x=0\\ z=0 \end{matrix}\right.$ ,

 por tanto el punto Q será de la forma Q (0, q, 0 ) 

  Para que tengamos ángulo recto en B , debe ocurrir que los vectores

$\ \vec{AB}    y  \vec{BQ} $  sean perpendiculares 

$\ \vec{AB} $ = (- 1, 0, - 2)                          $\ \vec{BQ} $ = (0 - 0, q - 0,0 - (-1))= (0, q, 1 )

Para que sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero: $\ \vec{AB} · \vec{BQ} = 0 $

$\ \vec{AB} · \vec{BQ} = (-1) · 0 + 0 · q + (-2) · 1 = - 2 $

Observamos que el producto escalar vale siempre -2 (por tanto no puede ser igual a cero para ningún valor de q ) y por consiguiente, no hay ningún punto Q del Eje OY para el que se cumplan las condiciones del apartado (b) .

(c) Al igual que en el apartado (b) , calculamos los vectores $\ \vec{AB}  y  \vec{BD}$ :

$\ \vec{AB}$ = (- 1, 0, - 2)                               $\ \vec{BD}$ = (2 - 0, 0 - 0 , - 2- (-1)) = (2 , 0. -1)

Calculamos  $\ \vec{AB} · \vec{BD}$ = (-1) · 2 + 0 · 0 + (-2) · (-1) = 0 

El triángulo es rectángulo en B

Observación: Podría ocurrir que el triángulo no fuera rectángulo en B sino en otro de los puntos . Si por ejemplo fuera rectángulo en A : $\ \vec{AB} · \vec{AD}$ seria igual a 0 ( y   $\ \vec{AB} · \vec{BD} \neq 0 $ ) . Habríamos de tener en cuenta las distintas posibilidades (según el vértice en el que estuviera el ángulo recto ) para poder asegurar si el triángulo es rectángulo o no, si bien, con que uno de los productos escalares sea igual a cero, tendríamos asegurado que lo es.

Para finalizar el ejercicio, debemos calcular el área del triángulo ABD :

La base del triángulo medirá  :
$ \left | \vec{BD} \right |= \sqrt{2^{2} + 0^{2}+ \left (-1 \right )^{2}}= \sqrt{4+0+1}= \sqrt{5} $ u

 ( donde u es la unidad de medida de longitud )

La altura : $ \left | \vec{AB} \right |= \sqrt{\left (-1  \right )^{2} + 0^{2}+ \left (-2  \right )^{2}}= \sqrt{1+0+4}= \sqrt{5} $ u

Y el área valdrá: 

$ A = \frac{Base * Altura}{2}= \frac{\left | \vec{BD} \right |*\left | \vec{AB} \right |}{2}= \frac{\sqrt{5}*\sqrt{5}}{2}= \frac{5}{2} $ $ u^{2} $