Sabemos que la representación gráfica de f (x) será una parábola (porque f (x ) es una función polinómica de grado 2 y la gráfica de este tipo de funciones es siempre una parábola )
Al igualar la ecuación de nuestra función $ f(x)= x^{2} + x - 2 $ a la expresión general de las funciones cuadráticas $ f(x)= ax^{2} + bx + c $ deducimos que en nuestro caso : a = 1 (coeficiente de $ x^{2} $ ) , b = 1 (coeficiente de x ) y c = -2 (término independiente )
Observamos que en $ f(x)= x^{2} + x - 2 $ , a = 1 > 0 : la parábola será abierta hacia arriba :
Calculemos ahora el vértice de la parábola : la abscisa del vértice es siempre $x = -\frac{b}{2a}$ sustituimos:
$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2*1}= -\frac{1}{2}$
$ f ( -\frac{1}{2} ) = \left ( \frac{-1}{2} \right )^2+ \frac{-1}{2} - 2 = \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2 = \frac{1}{4}-\frac{2}{4} - \frac{8}{4} = \frac{-9}{4} $
Por tanto, el vértice ( en este caso el mínimo relativo por ser a > 0 ) es el punto : $ V \left ( \frac{- 1}{2} ,\frac{- 9}{4} \right ) $
Punto de corte con el eje de ordenadas : es el punto de abscisa x = 0 : f ( 0 ) = - 2 .
Obtenemos : P ( 0 , -2 )
Puntos de corte con el eje x : Resolvemos la ecuación $ x^{2} + x - 2 = 0 $ :
$ x = \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}= \frac{-1\pm \sqrt{1^{2}-4*1*(-2))} }{2*1} = \frac{-1\pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1\pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3 }{2} $ .
Soluciones: $ x = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $ ; Punto de corte : Q ( 1 , 0 )
$ x = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{- 4}{2} = -2 $ ; Punto de corte : R( - 2 , 0 )
Finalmente, la representación gráfica de $ f(x)= x^{2} + x - 2 $ quedará del siguiente modo:
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