Geometría en el Espacio ( 2 )

Ejercicio: Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta : $ r \equiv \left\{\begin{matrix}x - y + z = 0\\ 2x - y + 4z = -2 \end{matrix}\right. $

- Comprobemos en primer lugar que esas dos ecuaciones determinan una recta:

Cada una de las ecuaciones , desde un punto de vista geométrico, representa un plano en el espacio.
Tenemos por tanto dos planos. Las soluciones del sistema que forman las dos ecuaciones nos darán los puntos de corte de los dos planos, por tanto, si queremos que el corte sea una recta, el sistema debe tener infinitas soluciones ( tantas soluciones como puntos tiene una recta:, es decir, infinitos ) , por consiguiente  el sistema debe ser compatible indeterminado : el rango de la matriz de coeficientes debe ser igual al rango de la matriz ampliada (y menor que el número de incógnitas ). Habría en principio dos posibilidades : rango 1 y rango 2 . Si el rango es 1, significará que las dos ecuaciones son proporcionales y por tanto los planos serán coincidentes . Como consecuencia de todo lo anterior, la única posibilidad de que dos planos en el espacio determinen una recta es que el sistema tenga rango igual a 2 ( tanto de la matriz de coeficientes como de la matriz ampliada ) . Veamos si eso ocurre con nuestro sistema:

$ r\equiv \left\{\begin{matrix}
x - y + z = 0\\ 2x - y + 4z = -2
\end{matrix}\right. $

Matriz de coeficientes: $ A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
2 & -1 & 4
\end{pmatrix} $

Matriz ampliada:  $ A' = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 0\\
2 & -1 & 4 & -2
\end{pmatrix} $

Tomamos en A el determinante : $ \begin{vmatrix}
1 & -1\\
2 & -1
\end{vmatrix} $ = 1 * (-1 ) - 2 * ( -1) = - 1 + 2 = 1 $ \neq  $ 0 => rg ( A ) = 2 .

Como no podemos construir en A' ningún determinante de orden tres, tendremos que el rango de A' también es igual a 2 . Por tanto: rg (A) = rg (A' ) = 2 . Efectivamente, las dos ecuaciones iniciales determinan una recta en el espacio.

- Resolvamos el sistema : Vamos a resolver el sistema inicial del que sabemos que tiene rango de A y A' igual a 2 . Como el sistema tiene tres incógnitas, para resolverlo necesitaremos un número de parámetros que se obtiene :

Nº de parámetros = Nº de incógnitas - rango = 3 - 2 = 1

Llamemos  $ \lambda  $  a  nuestro parámetro. Tomamos  z = $ \lambda  $  y sustituimos en el sistema :

$ \left\{\begin{matrix}
x - y + \lambda  = 0\\ 2x - y + 4\lambda = -2
\end{matrix}\right.  $

Pasamos la parte de $ \lambda  $  al segundo miembro :

$  \left\{\begin{matrix} x - y   = - \lambda\\2x - y  = - 4\lambda-2
\end{matrix}\right.  $ .

 Resolvemos el sistema en función de $ \lambda  $  :

$  \left\{\begin{matrix} x - y   = - \lambda\\2x - y  = - 4\lambda-2
\end{matrix}\right.  \rightarrow \left\{\begin{matrix} -x + y   = + \lambda\\2x - y  = - 4\lambda-2
\end{matrix}\right. \rightarrow Sumamos :  x = -3 \lambda - 2 $

Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos x :

$ x - y = -\lambda \Rightarrow y = x + \lambda = -3\lambda - 2+ \lambda  = - 2\lambda - 2 \Rightarrow  y = - 2\lambda - 2 $ .

El sistema queda del siguiente modo :

$ \left\{\begin{matrix}
x = -3\lambda - 2\\y =-2\lambda -2
\\z = \lambda
\end{matrix}\right. $

Pues bien, justo ésas serán las ecuaciones paramétricas de la recta  r . En esas ecuaciones, los coeficientes de $ \lambda $ determinarán un vector director , y los términos independientes , las coordenadas de un punto de la recta :

Vector director: $ \vec{v} $ = ( - 3, - 2 , 1 )
Punto : A ( -2, -2, 0 )

Comentario final:  Otra forma de resolver el ejercicio sería obteniendo dos puntos de la recta, calculando el vector que determinan y escribiendo finalmente las ecuaciones paramétricas usando ese vector y ese punto. Si queréis en otro momento lo hacemos de este modo . Gracias por visitar mi blog. Espero que os sea útil.